Đề học sinh giỏi cấp tỉnh lớp 12 môn Toán năm 2023 2024 sở GD ĐT Bình Phước

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

BÌNH PHƯỚC

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2023 – 2024

(Đề thi gồm 01 trang)

Môn: Toán Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 04/11/2023

Câu 1. (4,0 điểm)

a) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số

3 2 1 (2 3) 2023 3 y x mx m x = − + + + đồng biến

trên . b) Cho hàm số ( ) y f x = có đạo hàm 2 '( ) ( 4) f x x x = − . Tìm các điểm cực trị của hàm số

2 ( ) ( ) 2024. g x f x x = − + Câu 2. (2,0 điểm) Cho các số thực dương ,x y thoả mãn:

2 2 8 2023 24 7 log (16 9 7) log (8 2023) 2. xy xy x y xy + + + + + + =

Tính giá trị của biểu thức 2 2 2 . P x y = + Câu 3. (2,0 điểm) Cho các số thực dương , , x y z thoả mãn điều kiện 2 2 2 1. x y z + + = Tìm giá trị nhỏ

nhất của biểu thức

2 2 1 1 2 . 1 P z x xy y xy = + + + + +

Câu 4. (2,0 điểm) Giải hệ phương trình ( ) 2 2 2( 2 ) 3 5 3 2

2 4 8 29.

y x y x x y

x y x y

 − + − = + + − +   − + = − + + 

Câu 5. (2,0 điểm) Cho dãy số ( ) n u xác định bởi

1

1

3

2 2, 1 n n

u

u u n +

=   = −  

. Chứng minh rằng dãy số

( ) nv với * 2 4, n n v u n = −  là một cấp số nhân và tìm công bội của cấp số nhân đó. Câu 6. (2,0 điểm) Gọi S là tập hợp các số tự nhiên có 5 chữ số đôi một khác nhau và các chữ số này được lấy từ các chữ số 1,2,3,4,5,6,7,8,9. Chọn ngẫu nhiên một số từ tập ,S tính xác suất để số được chọn là số chẵn trong đó có đúng hai chữ số lẻ và hai chữ số lẻ này không đứng cạnh nhau.

Câu 7. (4,0 điểm) Cho hình chóp tứ giác đều . S ABCD có O là giao điểm của AC và . BD Biết 2, SO a = góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng ( ) ABCD bằng 0 45 .

a) Tính thể tích khối chóp . S ABCD theo .a

b) Gọi K là điểm di động trong mặt phẳng ( ). ABCD Tìm SAK để biểu thức SA AK T SK

+ = đạt

giá trị lớn nhất.

Câu 8. (2,0 điểm) Cho hình trụ có đường kính đáy bằng 4 5. Một mặt phẳng không vuông góc với đáy và cắt hai đáy theo hai dây cung song song , ' ' MN M N thoả mãn 8, ' ' 4. MN M N = = Biết rằng tứ giác ' ' MNN M có diện tích bằng 54. Tính thể tích khối trụ đã cho.

......HẾT......

- Thí sinh không được sử dụng tài liệu và máy tính cầm tay. - Giám thị coi thi không giải thích gì thêm.

ĐỀCHÍNH THỨC

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH

LỚP 12 THPT NĂM 2023 - 2024 MÔN THI: TOÁN

Câu Nội dung Điểm Câu 1a Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số

3 2 1 (2 3) 2023 3 y x mx m x = − + + + đồng biến trên .

2.0

Hàm số đồng biến trên khi và chỉ khi 2 ' 2 2 3 0, y x mx m x = − + +  

2

2 ' 2 2 3 0,

' 2 3 0 1 3.

y x mx m x

m m m

= − + +  

= − −  − 

Vậy 1 3 m − . Câu 1b Cho hàm số ( ) y f x = có đạo hàm 2 '( ) ( 4) f x x x = − . Tìm các điểm cực trị của hàm số 2 ( ) ( ) 2024. g x f x x = − +

2.0

Ta có

2 '( ) ( 2)( 2)

'( ) (2 1) '( )

f x x x x

g x x f x x

= − +

= − −

2 2 2

2 '( ) (2 1)( )( 2)( 2)

(2 1) ( 1)( 1)( 2)( 2)

g x x x x x x x x

x x x x x x x

 = − − − − − +

= − − + − − +

1 2 0 '( ) 0 1 1 2.

x

x g x x

x x

 =   =  =  = − 

=   = 

Bảng xét dấu

x − 1 − 0 1

2 1 2 +

'( ) g x

− 0 + 0 − 0 + 0 − 0 +

Kết luận: Hàm số ( ) g x có 5 điểm cực trị là 1 1, 0, , 1, 2. 2 x x x x x = − = = = =