Đề học sinh giỏi tỉnh lớp 12 môn Toán năm 2023 2024 sở GD ĐT Hà Tĩnh

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HÀ TĨNH

(Đề thi có 01 trang, gồm 10 câu)

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 12 THPT

NĂM HỌC 2023 - 2024

Môn thi: TOÁN Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian giao đề)

Câu 1. (2.0 điểm) Cho hàm số 2 1 1 x y x + = − có đồ thị ( ) C . Gọi I là giao điểm của hai đường tiệm

cận của ( ) C . Tìm tọa độ điểm M sao cho khoảng cách từ I đến tiếp tuyến của ( ) C tại M đạt giá trị lớn nhất. Câu 2. (2.0 điểm) Tìm tất cả các tham số m để hàm số ( ) 3 2 2 3 6 2 2 y x x m m x m = − − − + + − đồng

biến trên khoảng ( ) 0;3 .

Câu 3. (2.0 điểm) Cho hàm số ( ) ( ) 4 3 2 1 4 9 16 2 x f x x x m x = − + − − với m là tham số. Có bao nhiêu

giá trị nguyên của m để hàm số ( ) ( ) g x f x = có đúng 5 điểm cực trị.

Câu 4. (2.0 điểm) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình sau có nghiệm

( ) 2 2 4 4 1 2 1 1 2 1 x x m x x −+ −= + + − .

Câu 5. (2.0 điểm) Gọi A là tập hợp các số tự nhiên có 5 chữ số. Lấy ngẫu nhiên một số thuộc tập hợp A, tính xác suất sao cho số được lấy chia hết cho 13 và có chữ số hàng đơn vị là 1. Câu 6. (2,0 điểm) Cho hình trụ ( ) T có bán kính đáy và chiều cao đều bằng R , hai đáy là hai hình

tròn ( ) O và ( )' O . Gọi ' AA và ' BB là hai đường sinh bất kì của hình trụ, trong đó

( ) ( ) , ; ', ' ' A B O A B O ∈ ∈ , M là một điểm di động trên đường tròn ( ) O . Tính thể tích lớn nhất của khối chóp . ' ' M AA B B . Câu 7. (2,0 điểm) Cho hình lăng trụ . ' ' ' ABC A B C có đáy là tam giác đều. Hình chiếu vuông góc của ' A lên ( ) ABC là trung điểm của BC . Mặt phẳng ( ) P vuông góc với cạnh ' AA và cắt các cạnh

bên ', ', ' AA BB CC của hình lăng trụ lần lượt tại , , I J K . Biết mặt phẳng ( ) ' ' ABB A vuông góc với

mặt phẳng ( ) ' ' ACC A và chu vi của tam giác IJK bằng 1. Tính khoảng cách giữa ' CC và AB .

Câu 8. (2.0 điểm) Cho hình chóp .S ABC có đáy là tam giác đều cạnh bằng 3 . Biết

( ) ( ) 3 2 , 4 d A SBC = , ( ) ( ) 3 5 , 10 d B SCA = và ( ) ( ) 3 10 , 20 d C SAB = ; hình chiếu vuông góc của S lên

(ABC) nằm trong tam giác ABC . Tính thể tích khối chóp .S ABC . Câu 9. (2.0 điểm) Cho hàm số đa thức bậc bốn có đồ thị như hình vẽ. Tìm số nghiệm của phương trình:

( ) ( ) ( ) 2 1 . 3 0 f x x f x + + + = .

Câu 10. (2.0 điểm) Tìm tất cả các số nguyên x sao cho ứng với mỗi x có không quá 2 số nguyên

y thỏa mãn

2 5 19 8 2 4 2048 x y x y − + −−+ + ≥ và 0 x y + > . −−−−−−−−−−−−HẾT−−−−−−−−−−−− - Thí sinh không được sử dụng tài liệu và máy tính cầm tay; - Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh:……………………………….……..… Số báo danh:…………………………

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

1 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HÀ TĨNH

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 12 THPT

NĂM HỌC 2023-2024

Môn: TOÁN

HƯỚNG DẪN CHẤM (Hướng dẫn chấm gồm có 06 trang) Lưu ý: Mọi cách giải khác đáp án mà đúng đều cho điểm tối đa. CÂU ĐÁP ÁN ĐIỂM

Câu 1 (2,0 đ)

Đồ thị ( ) C có giao điểm hai đường tiệm cận là ( ) 1;2 . I

Gọi ( ) 2 1 ; , 1 1 m M m m m +   ≠   −  

, ta có phương trình tiếp tuyến của ( ) C tại M là

( ) ( ) ( ) 2 2 2 3 2 1 3 1 2 2 1 0 1 1

m y x m x m y m m m m

− + = − + ⇔ + − − − + = − −

0,5

Khoảng cách từ I đến tiếp tuyến của ( ) C tại M là

( )

4 6 1

9 1

m d m

− = + −

0,5

Ta có

( ) ( )

2

2

6 6 9 1 1

d m m

= ≤ + − −

,

dấu " " = xảy ra khi

( )

( ) 2

2 9 1 1 m m = − −

1 3 m ⇔ = ±

0,5

Do đó, ta có hai điểm M thỏa mãn là ( ) 1 3;2 3 M + + và ( ) 1 3;2 3 M − − . 0,5

Câu 2 (2,0 đ)

Xét ( ) ( ) 3 2 2 3 6 2 2 f x x m x m x m − − + = − + − ( ) ( ) 2 2 2 ' 3 6 6 m f x x m x − − − = + ⇒ 0,5

Hàm số ( ) y f x = đồng biến trên khoảng( ) 0;3 , xảy ra một trong hai trường hợp sau

Trường hợp 1: Hàm số ( ) f x đồng biến trên khoảng ( ) 0;3 và ( ) 0 0 f ≥

Trường hợp 2: Hàm số ( ) f x nghịch biến trên khoảng ( ) 0;3 và ( ) 0 0 f ≤

0,5

Trường hợp 1: Hàm số ( ) f x đồng biến trên khoảng ( ) 0;3 và ( ) 0 0 f ≥ , ta có

( ) ( ) 2 2 , 3 6 2 0 6 0;3

2 0

m m x x x

m

 − + ≥ ∀∈  − ≥

− −



( ) 2 2 6 2, 0;3

2

3 6 m m x x x

m

 ≥ − + ∀∈  ⇔ ≥

−



2 6 2 3

2

m m

m

 − + ≤− ⇔ ≥ …