Đề giao lưu HSG lớp 8 môn Toán năm 2022 2023 phòng GD ĐT Vĩnh Bảo Hải Phòng

UBND HUYỆN VĨNH BẢO

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO (Đề có 01 trang)

ĐỀ GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI HUYỆN

NĂM HỌC 2022–2023

MÔN: TOÁN 8 (Thời gian làm bài 150 phút)

Bài 1. (3,0 điểm)

a) Phân tích đa thức thành nhân tử: ( x2 + 2x)2 + 2( x2 +2x) + 1

b) Xác định đa thức ( ) P x , biết ( ) P x chia cho đa thức 1 + x dư 4, ( ) P x chia cho đa thức 2 + x dư 6. ( ) P x chia cho đa thức 2 3 2 + + x x được thương là 3 + x và còn dư.

c) Cho , , x y z đôi một khác nhau và 1 1 1 0 + + = x y z .

Tính giá trị của biểu thức: 2 2 2 2 2 2 = + + + + + yz xz xy A x yz y xz z xy .

Bài 2. (2,0 điểm)

a) Giải phương trình sau: ( 7)( 5)( 4)( 2) 72 x x x x − − − − = .

b) Cho ba số dương , , a b c thỏa mãn 1 + + = a b c . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu

thức: 1 1 1 4 16 = + + M a b c

c) Cho a, b, c, d là các số nguyên thỏa mãn 5(a3 + b3) = 13(c3 + d3). Chứng minh rằng: a + b + c + d chia hết cho 6.

Bài 3. (2,0 điểm)

Cho hình chữ nhật ABCD. Vẽ BH vuông góc với AC (H ∈ AC). Gọi M là trung điểm của AH, K là trung điểm của CD. Chứng minh rằng: BM ⊥ MK.

Bài 4. (2,0 điểm)

Cho tam giác ABC nhọn AB<AC, ba đường cao AD, BE, CF của tam giác ABC cắt nhau tại H.

a/ Chứng minh:Tam giác AEF đồng dạng với tam giác ABC và FC là tia phân giác của góc EFD.

b/ Hai đường thẳng EF và CB cắt nhau tại M. Từ B kẻ đường thẳng song song với AC cắt AM tại I; cắt AD tại K. Chứng minh rằng: B là trung điểm của IK.

Bài 5. (1,0 điểm)

Cho 2023 số tự nhiên bất kỳ: a1 ; a2 ;... ; a2023. Chứng minh rằng tồn tại một số hoặc tổng một số các số trong dãy trên chia hết cho 2023.

----------- Hết -----------

Lưu ý: Học sinh không được sử dụng máy tính cầm tay

HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI

NĂM HỌC 2022 – 2023

MÔN: TOÁN 8 Câu Ý - Nội dung Điểm 1

a) Ta có: ( x2 + 2x)2 + 2( x2 +2x) + 1

=(x2+2x +1)2 =(x+1)4

0,5

0,5

b) Do đa thức chia 2 3 2 + + x x có bậc 2 nên đa thức dư có dạng : ax+b với a, b thuộc R

( )( ) 2 ( ) 3 2 3 = + + + + + P x x x x ax b

Theo định lí Bơzu ( ) P x chia cho 1 + x dư 4 ( ) ( ) 1 4 4 1 ⇔ − = ⇔−+ = P a b

( ) P x chia cho 2 + x dư 6 ( ) ( ) 2 6 2 6 2 ⇔ − = ⇔− + = P a b

Từ ( )1 4 2 ⇔ = + b thay vào ( ) 2 ta được 2 4 6 2 − + + = ⇔ = − a a a Thay 2 = − a ta được 2 = b ( )( ) 2 3 2 ( ) 3 2 3 2 2 6 9 8 = + + + − + = + + + P x x x x x x x x

Vậy đa thức ( ) 3 2 6 9 8 = + + + P x x x x

0,25

0,25

0,25

0,25

c/ Đặt A= 2 2 2 2 2 2 yz xz xy x yz y xz z xy + + + + +

Ta có: xy yz zx 0 + + = ⇒ xy xz yz; xz yz xy; xy yz xz − − = − − = − − =

Khi đó A= 2 2 2 2 2 2 yz xz xy x yz y xz z xy + + + + +

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )( ) 1 ( )( )( )

yz xz xy x y x z x y y z x z y z x y x z y z x y x z y z

= − + − − − − − − − − − = = − − −

0,25

0,25 0,25 0,25

2

a)

2 2 ( 7)( 5)( 4)( 2) 72

( 9 14)( 9 20) 72

x x x x

x x x x

− − − − =

⇔ − + − + =

Đặt

2 9 17 x x t − + = Phương trình thành:

2

( 3)( 3) 72

9 81 9

t t

t t t

− + =

=  ⇔ = ⇔= − 

0,25

+) Với 9 t = ta có:

2

2

9 17 9

1 9 8 0 8

x x

x x x x

− + =

=  ⇔ − + = ⇔= 

+) Với 9 t = − ta có:

2

2 9 17 9

9 26 0

x x

x x

− + = −

⇔ − + =

(Vô nghiệm vì

2 2 9 23 9 26 0 2 4 x x x   − + = − + >    

với mọi x)

Vậy tập nghiệm của phương trình là {1;8} S =

0,25

0,25

b) ( ) 1 1 1 1 1 1 4 16 4 16   = + + = + + + +     M a b c a b c a b c (do 1 + + = a b c )

21 4 16 4 16 16 = + + + + + + a b a c c b M b a c a b c

Áp dụng BĐT Cô si với hai số dương 4 a b và b a ta được:

1 4 + ≥ a b b a dấu bằng xảy ra 2 ⇔ = a b

Tương tự:

1 16 2 + ≥ a c c a dấu bằng xảy ra 4 ⇔ = a c

1 4 16 4 + ≥ c b b c dấu bằng xảy ra 2 = b c

Khi đó:

21 1 1 21 1 4 16 4 16 16 2 4 16 21 49 4 16 4 16 16 16

= + + + + + + ≥+ + +

⇒ + + + + + + ≥

a b a c c b M b a c a b c a b a c c b b a c a b c

Dấu “=” xảy ra

1 2 2 1 4 4 2 2

=  =     ⇔ = ⇔ =     =  =  

b a a b

a c c a

b c b c

0,25

0,25