Đề học sinh giỏi lớp 8 môn Toán năm 2022 2023 phòng GD ĐT Tiền Hải Thái Bình

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HUYỆN TIỀN HẢI

ĐỀ KHẢO SÁT CHỌN HỌC SINH GIỎI

Môn Toán: 8 NĂM HỌC 2022-2023 Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao đề)

Bài 1 (5,0 điểm)

1) Phân tích đa thức 3 x 7x 6 − + thành nhân tử. 2) Tìm cặp số (x;y) thỏa mãn đẳng thức: 2 2 2x 2xy y 2x 1 0 − + − + = .

3) Cho biểu thức: 2 2x 9 x 3 2x 4 A x 2 3 x x 5x 6 − + + = − − − − − +

với x 2, x 3 ≠ ≠ .

Rút gọn biểu thức A và tìm các giá trị nguyên của x để A nhận giá trị nguyên. Bài 2 (4,0 điểm)

1) Giải phương trình: 2 2x 5 2x 2 3 (x 2)(x 4) 2 x 5x 4 + + − = − + + +

.

2) Đa thức f (x) khi chia cho x 1 + dư 1 và chia cho 2 x 2 + dư là 2x . Tìm đa thức dư khi

f (x) chia cho 2 (x 1)(x 2) + + . Bài 3 (3,5 điểm)

1) Tìm tất cả các cặp số nguyên (x;y) thỏa mãn đẳng thức: 2 x y x 2y 3 − + = .

2) Các số x,y,z khác 0 thỏa mãn x y z 1 + + = và 1 1 1 1 1 1 x y z 2 y z z x x y       + + + + + = −            

.

Tính giá trị của biểu thức: 2023 2023 2023 T x y z = + + . Bài 4 (4,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Từ H kẻ HE, HF theo thứ tự vuông góc với AB, AC (E AB,F AC) ∈ ∈

1) Chứng minh: 2 AH AE.AB = và tam giác AEF đồng dạng với tam giác ACB.

2) Phân giác của  AHB,  AHC,  BAC theo thứ tự cắt AB, AC, BC theo thứ tự tại M, N và D. Chứng minh: DM song song với AC và tứ giác AMDN là hình vuông .

3) Trên đoạn HC lấy điểm I sao cho   BFH HFI = . Chứng minh ba điểm A, I và trung điểm của HF thẳng hàng. Bài 5 (2,0 điểm) Cho tam giác nhọn ABC, các đường cao AD, BE, CF. Chứng minh rằng nếu

AFE FBD DCE S S S ∆ ∆ ∆ = = thì tam giác ABC là tam giác đều. Bài 6 (1,5 điểm) Chứng minh rằng nếu các số dương x,y,z thỏa mãn điều kiện:

3 3 3

2 2 2 2 2 2 x y z 3 x xy y y zy z z zx x + + = + + + + + +

thì x y z 9. + + ≤

…….Hết……. Họ và tên thí sinh……………………………………. Số báo danh…………………

1

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HUYỆN TIỀN HẢI

KỲ KHẢO SÁT CHỌN HỌC SINH GIỎI

NĂM HỌC 2022-2023

HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN 8

(Gồm 06 trang)

I. Hướng dẫn chung

1.Hướng dẫn chấm chỉ trình bày các bước cơ bản của 1 cách giải. Nếu thí sinh làm theo cách khác mà đúng thì vẫn cho điểm tối đa. 2. Bài làm của thí sinh đúng đến đâu cho điểm đến đó theo biểu điểm. Bài có nhiều ý liên quan tới nhau, nếu thí sinh mà công nhận ý trên (hoặc làm ý trên không đúng) để làm ý dưới mà thí sinh làm đúng thì cho một nửa số điểm ý đó. 3. Bài hình học, thí sinh vẽ hình đúng ý nào thì chấm điểm ý đó, thí sinh vẽ sai hình hoặc không vẽ hình thì cho 0 điểm bài hình đó. 4. Điểm của bài thi là tổng điểm các câu làm đúng và không làm tròn. II. Đáp án và thang điểm

HƯỚNG DẪN CHẤM Điểm Bài 1 (5,0 điểm)

1) Phân tích đa thức 3 x 7x 6 − + thành nhân tử. 2) Tìm cặp số (x;y) thỏa mãn đẳng thức: 2 2 2x 2xy y 2x 1 0 − + − + = .

3) Cho biểu thức: 2 2x 9 x 3 2x 4 A x 2 3 x x 5x 6 − + + = − − − − − +

với x 2, x 3 ≠ ≠ .

Rút gọn biểu thức A và tìm các giá trị nguyên của x để A nhận giá trị nguyên.

1) ( 2đ)

[ ] 3 3 x 7x 6 (x x) 6(x 1) x(x 1)(x 1) 6(x 1) (x 1) x(x 1) 6 − + = − − − = − + − − = − + − 0,5

2 2 (x 1)(x x 6) (x 1)(x 4 x 2) = − + − = − − + − 0,5 ( ) (x 1) (x 2)(x 2) (x 2) = − − + + − 0,5 (x 1)(x 2)(x 3) = − − + 0,5

2)(1,5đ)

( ) ( ) 2 2 2 2 2 2x 2xy y 2x 1 0 x 2xy y x 2x 1 0 − + − + = ⇔ − + + − + = 0,5

    2 2 x y x 1 0     (*) 0,25

Vì   2 x y 0 x,y      2 x 1 0 x    0,25

Do đó (*)    2 2 x y x 1 0 x y 1       

Vậy   x;y (1;1)  0,5

3) (1,5đ)

ĐKXĐ: x 2,x 3 ≠ ≠

( )( )

( )( )

( )( ) ( )( )

2

2x 9 x 3 2x 4 A x 3 x 2 x 2 x 3

x 4 x 2 x 2x 8 x 4 x 3 x 2 x 3 x 2 x 3

− + + = − + − − − −

+ − + − + = = = − − − − −

1,0