Đề HSG cấp huyện lớp 8 môn Toán năm 2022 2023 phòng GD ĐT An Dương Hải Phòng

UBND HUYỆN AN DƯƠNG PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN

NĂM HỌC 2022 -2023

MÔN: TOÁN 8 Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) (Đề thi gồm có 01 trang)

Bài 1. (2,0 điểm) 1. Cho hai số ,a b thỏa mãn 9; 14 a b ab    . Chứng minh rằng:

2 2 3 3 2( ) 755. a b a b     2. Tìm một đa thức bậc ba ( ) P x , biết ( ) P x chia cho các đa thức     1 , 2 , 3 x x x    đều được dư là 6 và   1 18 P   .

Bài 2. (2,0 điểm) 1. Giả sử p và q là các số nguyên tố thỏa mãn đẳng thức

2 ( 1) ( 1). p p q q    Chứng minh rằng tồn tại số nguyên dương k sao cho

2 1 ; 1 . p kq q kp  

2. Giải phương trình nghiệm nguyên: 2 2 2 4 19 3 . x x y   

Bài 3. (2,0 điểm)

1. Giải phương trình: 2

2 5 0. 4 1 4 5 x x x x     

2. Cho , , a b c là các số thực dương. Chứng minh rằng:

2 2 2

2 2 2 2 2 2

1( ) 5 3 8 14 3 8 14 3 8 14

a b c a b c a b ab b c bc c a ca           

Bài 4. (3,0 điểm) Cho hình vuông , ABCD trên cạnh AB lấy điểm E và trên cạnh AD lấy điểm F sao cho AE AF  . Vẽ AH vuông góc với BF (H thuộc BF ), đường thẳng AH cắt các đường thẳng DC và BC lần lượt tại hai điểm M và . N 1. Chứng minh rằng tứ giác AEMD là hình chữ nhật. 2. Biết diện tích tam giác BCH gấp bốn lần diện tích tam giác . AEH Chứng minh rằng : 2 . AC EF 

3. Chứng minh rằng : 2 2 2 1 1 1 . AD AM AN  

Bài 5. (1,0 điểm) Một giải bóng chuyền có 9 đội bóng tham gia thi đấu vòng tròn 1 lượt (hai đội bất kỳ chỉ thi đấu với nhau 1 trận). Biết đội thứ nhất thắng 1a trận và thua 1b trận,

đội thứ 2 thắng 2a trận và thua 2b trận, …., đội thứ 9 thắng 9a trận và thua 9b trận.

Chứng minh rằng 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 3 9 1 2 3 9 ... ... a a a a b b b b         

---------------------------------Hết----------------------------

Họ và tên thí sinh: .................................................Số báo danh.....................................

ĐỀ CHÍNH THỨC

UBND HUYỆN AN DƯƠNG PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN

NĂM HỌC 2022 -2023

MÔN: TOÁN 8 Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

Bài Nội dung cần đạt Điểm 1 (2,0đ)

1. Cho hai số ,a b thỏa mãn 9; 14 a b ab    . Chứng minh rằng:

2 2 3 3 2( ) 755. a b a b     Ta có:

2 2 2 2 ( ) 2 9 2.14 53. a b a b ab       

0,25

3 3 3 3 ( ) 3 ( ) 9 3.14.9 351 a b a b ab a b         0,25

3 3 2( ) 2.351 702. a b     0,25

Vậy:

2 2 3 3 2( ) 53 702 755. a b a b       0,25

2. Tìm một đa thức bậc ba, biết P(x) chia cho     1 , 2 , 3 x x x    đều được

dư 6 và   1 18 P   .

Theo định lí Bézout ta có:    1 2 3 6 P P P    . Do đó ta đặt

          1 1 2 1 2 3 P x d c x b x x a x x x           Cho 1 x  ta được  1 P d  , suy ra 6 d            6 1 1 2 1 2 3 P x c x b x x a x x x          

0,25

Cho 2 x  ta được  2 6 P c  , suy ra 0 c            6 0 1 1 2 1 2 3 P x x b x x a x x x          

0,25

Cho 3 x  ta được  3 6 2 P b   , suy ra 0 b            6 0 1 0 1 2 1 2 3 P x x x x a x x x          

Do đó      6 1 2 3 P x a x x x     

0,25

Cho 1 x  ta được   1 6 24 P a    , do đó 18 6 24a    suy ra 1 a . Vậy      6 1. 1 2 3 P x x x x     

Rút gọn ta được: 

3 2 6 11 P x x x x    .

0,25

1. Giả sử p và q là các số nguyên tố thỏa mãn đẳng thức 2 ( 1) ( 1). p p q q    Chứng minh rằng tồn tại số nguyên dương k sao cho 2 1 ; 1 . p kq q kp  

Nếu p q  thì ta có 2 0 1 1 1

p q p q p q

       

, điều này vô lí vì ,p q

là các số nguyên tố.

0,25

Do đó p q  , khi đó do ,p q là các số nguyên tố nên

2 ( 1) ; ( 1) . p q q p    

0,25

Như vậy tồn tại các số nguyên dương , m n thỏa mãn

2 1 ; 1 . p mq q np  

0,25

HƯỚNG DẪN CHẤM