Gợi ý giải bài hình học thử sức rất khó Lớp 9

Gợi ý giải bài hình thử sức rất khó lớp 9

Lời bàn: Đây là bài hình học khó, độ khó có thể sách ngang với đề thi

dành cho HSG hay thậm chí đề thi Olympic. Các bạn và thầy cô có thể

dễ dàng đưa ra lời giải cho bài toán không.

Đề bài: Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn (AB < AC). Đường tròn tâm

I nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với BC, AB, AC lần lượt tại D, E, F.

Vẽ đường kính DN của (I), DN cắt EF tại M. Đường thẳng đi qua M

song song với AN cắt đường thẳng đi qua A song song với BC tại điểm

L, DL cắt EF tại K. Kẻ IH vuông góc với AD tại H.

Chứng minh:

DeThi.edu.vn

Hướng dẫn giải

Bài toán trên nhìn khó nhưng thật sự là không khó. Nó là sự tổng hợp của 4 bài toán

phụ sau đây.

Bài toán phụ số 1: Đường tròn tâm (I;r) nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với các cạnh

BC, AB, AC lần lượt tại D, E, F. Vẽ đương kính DK của (I). Gọi M là trung điểm của

BC. Chứng minh: AK // IM

Chứng minh: Vẻ tiếp tuyến tại K của (I) cắt AB và AC lần lượt tại P và Q, AK cắt BC

tại J. Theo tính chất tiếp tuyến dễ thấy PI và BI lần lượt là tia phân giác của các góc

KIE và DIE do vậy IP _|_ IB. Áp dụng hệ thức lượng ta có: PK . BD = PE . BE = IE2

= r2. Chứng minh tương tự ta có KQ . DC = r2 => PK . BD = KQ . CD

=> =>

Dễ thấy PQ // BC. Áp dụng định lý ta lét ta có: =>

Từ đó suy ra BD = JC => MD = MJ. Ta lại có ID = IK nên MI là đường trung bình của

tam giác DKJ => IM // KJ hay IM // AK

DeThi.edu.vn

Bài toán phụ số 2: Đường tròn tâm (I;r) nội tiếp tam giác ABC có 3 góc nhọn (AB <

AC). tiếp xúc với các cạnh BC, AB, AC lần lượt tại D, E, F. Đường thẳng qua A song

song với BC cắt EF tại K. Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh: IM _|_ DK

Chứng minh: Cho ID cắt EF tại N. Qua N kẻ đường thẳng vuông góc với DN cắt AB và

AC lần lượt tại P và Q. Dễ thấy các tứ giác IEPN, IQFN nội tiếp và IE = IF nên

Góc IPN = góc IEN = góc IFN = góc IQN => tam giác IPQ cân => NP = NQ. Do PQ //

BC nên áp dụng định lý ta let ta có:

=> => góc CAM = góc CAN => 3 điểm A, N, M thẳng hàng.

Gọi H là giao điểm AI và EF. Dễ thấy ID _|_ AK và N là trực tâm của tam giác AIK

cho nên AM _|_ IK. Cho AM cắt IK tại L. Dễ dàng chứng minh được IL. IK = IH . IA,

IH . IA = IF2 = ID2 => ID2 = IL . IK => => góc ILD = góc IDK. Dễ thấy

tứ giác ILMD nội tiếp cho nên góc ILD = góc IMD. Từ đó suy ta góc IMD = góc IDK.

Dễ dàng chứng minh được IM _|_ DK

DeThi.edu.vn

Bài toán phụ số 3: Đường tròn tâm (I;r) nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với các cạnh

BC, AB, AC lần lượt tại D, E, F. Vẽ DH vuông góc với EF tại H. Chứng minh: DH là

tia phân giác của góc BHC

Chứng minh: Kẻ BM và CN vuông góc với EF lần lượt tại M và N. Dễ thấy AE = AF

=> góc MEB = góc AEF = góc AFE = góc NFC => =>

Dễ thấy BE = BD, CD = FC và MB // HD // NC do vậy

Từ đó suy ra => =>

=> Góc MHB = góc NHC => góc BHD = góc CHD hay HD là tia phân giác của góc

BHC

DeThi.edu.vn

Bài toán phụ số 4: (dựa theo bài hình thi vào 10 chuyên toán TPHCM). Đường tròn

tâm (I;r) nội tiếp tam giác ABC có 3 góc nhọn (AB < AC). tiếp xúc với các cạnh BC,

AB, AC lần lượt tại D, E, F, IB và IC cắt EF lần lượt tại M và N

1/ Chứng minh: Tứ giác BNMC nội tiếp

2/ Vẽ IT _|_ AD tại T. Đường trung trực của BC cắt IT tại J. Chứng minh: Tứ giác

BTJC nội tiếp

Chứng minh:

1/ Dễ thấy AE = AF do vậy góc MFC = góc AFE = ( 180* góc BAC) : 2

= ( góc ABC + góc ACB) : 2 = góc IBC + góc ICB = góc MIC => Tứ giác MFIC nội tiếp

=> MC _|_ MB. Chứng minh tương tự NB _|_ NC vậy 4 điểm B, N, M, C cùng thuộc

đường tròn đường kính BC

2/ Cho đường trung trực BC cắt BC tại O thì OB = OC, cho IT cắt EF tại L, AI cắt EF

tại H. Dễ thấy AI _|_ EF tại H và chứng minh được IT . IL = IH . IA, IH . IA = IE2 =

ID2 => ID2 = IT . IL => => góc IDL = góc ITD = 90* => ID _|_ DL nên 3

điểm L, B, C thẳng hàng. Dễ thấy tứ giác INBD nội tiếp và OM là đường trung tuyến

tam giác vuông BMC.

Ta có: góc BDN = góc DNC + góc DCN = góc IBC + góc ICF = góc BMO + góc IMF

= góc OMN => Tứ giác ODNM nội tiếp.

Dễ thấy tứ giác ODTJ nội tiếp. Từ các tứ giác nội tiếp ODTJ, ODNM, …