10 Cách giải cho bài hình Lớp 9 hay và khó

10 cách giải cho bài hình khó

Lời bàn: Đây là bài hình tương đối khó với học sinh và thầy cô. Tuy nhiên, nó

cũng khá là khó nhìn để giải. Với lí do này, tôi đề xuất thêm nhiều cách giải cho

bài toán. Mời các bạn và thầy cô tham khảo để tìm thêm nhiều lời giải hơn nữa.

Đề bài: Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn (AB < AC) có 2 đường cao BE và CF

cắt nhau tại H. Gọi I là trung điểm của BC. Đường thẳng đi qua H và vuông góc

với HI cắt AB và AC lần lượt tại M và N. Chứng minh: HM = HN.

Hướng dẫn giải

Hình 1 – Dùng cho cách 1 – 2 – 3 – 4

Phần 1: Các cách chứng minh cơ bản

Cách 1. Sử dụng đường trung bình với tam giác bằng nhau

Gọi D là điểm đối xứng C qua H

Dễ thấy HI là đường trung bình tam giác BCD => HI // BD. Mà MN _|_ HI

=> BD _|_ MN kết hợp với BF _|_ HD nên M là trực tâm của tam giác BHD

=> MD _|_ BE mà AC _|_ BE => MD // AC => góc MDH = góc HCN (2 góc solo

trong) ; góc MHD = góc NHC (2 góc đối đỉnh) ; HC = HD nên

(g – c – g) => HM = HN

DeThi.edu.vn

Cách 2: Dùng tam giác đồng dạng

Dễ thấy góc AMH = góc IHC (cùng phụ với góc MHF). Dễ thấy H là trực tâm

tam giác ABC nên AH _|_ BC nên dễ thấy góc MAH = góc BCF

=> (g – g) =>

Chứng minh tương tự (g – g) =>

Chia về theo vế => . Mà IB = IC => HM = HN.

Cách 3: Dùng hình bình hành với tứ giác nội tiếp

Gọi K là điểm đối xứng H qua I. Dễ thấy tứ giác BHCK là hình bình hành

=> BK // HC mà HC _|_ AB => BK _|_ AB. Lại có HM _|_ HK nên tứ giác

BMHK nội tiếp. Chứng minh tương tự ta cũng có tứ giác CNHK nội tiếp. Kết

hợp với góc HBK = góc HCK (BHCK là hình bình hành) với các tứ giác nội tiếp

trên ta có:

Góc HMK = góc HBK = góc HCK = góc HNK => Tam giác MNK cân tại K. Lại

có HK _|_ MN nên HK là đường trung tuyến => HM = HN

Cách 4: Dùng hình bình hành với tứ giác nội tiếp

Gọi K là điểm đối xứng H qua I, G là điểm đối xứng N qua I. Theo cách 3 ta

chứng minh được tứ giác BMHK nội tiếp. Dễ thấy tứ giác BNCG là hình bình

hành => BG // AC mà AC _|_ BE => BG _|_ BE. Tương tự dễ thấy tứ giác NHGK

là hình bình hành=> GK // MN và MN _|_ HK => GK _|_ HK kết hợp với

BG _|_ BE nên tứ giác BHKG nội tiếp. Mà theo như trên tứ giác BMHK nội tiếp

nên 5 điểm H, M, B, G, K cùng thuộc 1 đường tròn

=> góc HMG + góc HKG = 180* => góc HMG = 90*

=> MN _|_ MG mà MN _|_ HI => MG // HI. Lại có IG = IN => HM = HN

Nhận xét: Cách giải 3 và 4 tương đối giống nhau

DeThi.edu.vn

Hình 2 – Dùng cho cách 5 – 6

Phần 2: Các cách chứng minh ở cấp độ rộng

Cách 5: Dùng hệ quả ta let với đường trung bình tam giác (Dựa theo cách giải

của thầy giáo Dương Thế Nam)

Gọi O là trung điểm của FC, OI cắt AH tại P, PC cắt AB tại Q.

Dễ thấy OI là đường trung bình tam giác BFC => OI // BF mà BF _|_ FC

=> OI _|_ FC. Dễ thấy H là trực tâm tam giác ABC nên AH _|_ BC, kết hợp với

OI _|_ FC nên I là trực tâm tam giác HCP => HI _|_ QC mà HI _|_ MN

=> MN // QC. Trong tam giác QFC có OI // BF , OF = OC => PC = PQ

Từ MN // QC và PQ = PC. Áp dụng hệ quả ta let ta có

Mà PC = PQ => HM = HN

Cách 6: Dùng tam giác đồng dạng kết hợp với tứ giác nội tiếp

Gọi T và J lần lượt là trung điểm cạnh BF và CE

Dễ chứng minh (g – g)

=>

=> (c – g – c) => góc FTH = góc EJH

DeThi.edu.vn