Bài tập có đáp án chi tiết về bất đẳng thức bunhiacopxki của giáo viên đỗ kim sơn

Tröôøng THPT Chuyeân Tieàn Giang GV Ñoã Kim Sôn

Chuyên để bồi dưỡng học sinh giỏi K10 Page 1

I.Bất đẳng thức Bunhiacôpxki ( BCS ) : Cho 2 bộ số thực ( ) 1 2 ; ;...; n a a a và ( ) 1 2 ; ;...; n b b b , mỗi bộ gồm n số. Khi đó ta có:

( ) ( )( ) 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 1 2 1 2 ... ... ... n n n n a b a b a b a a a b b b + + + ≤ + + + + + +

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi:

1 2

1 2 ... n

n

a a a b b b = = = với quy ước nếu mẫu bằng 0 thì tử phải bằng 0.

II. Các hệ quả : Hệ quả 1:

Nếu 1 1 ... n n a x a x C + + = (không đổi) thì ( ) 2 2 1 2 2 1 min ... ... n n

C x x a a + + = + +

đạt được khi 1

1 ... n

n

x x a a = =

Hệ quả 2:

Nếu 2 2 2 1 ... n x x C + + = (không đổi) thì ( )

2 2 1 1 1 max ... ... n n n a x a x C a a + + = + +

đạt được khi 1

1 ... 0 n

n

x x a a = = ≥

( )

2 2 1 1 1 min ... ... n n n a x a x C a a + + = − + +

Dấu “=” xảy ra 1

1 ... 0 n

n

x x a a ⇔ = = ≤

III.Bất đẳng thức Bunhiacôpxki mở rộng: • Mở rộng bất đẳng thức Bunhiacôpxki cho 3 dãy số thực không âm ( ) 1 2 ; ;...; n a a a ;( ) 1 2 ; ;...; n b b b ;( ) 1 2 ; ;...; n c c c ta luôn có :

( ) ( )( )( ) 2 3 3 3 3 3 3 3 3 3 1 1 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2 ... ... ... ... n n n n n n a b c a b c a b c a a a b b b c c c + + + ≤ + + + + + + + + +

Chứng minh:

Đặt 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 1 2 1 2 1 2 ... , ... , ... n n n A a a a B b b b C c c c = + + + = + + + = + + +

Tröôøng THPT Chuyeân Tieàn Giang GV Ñoã Kim Sôn

Chuyên để bồi dưỡng học sinh giỏi K10 Page 2

Nếu 0 A = hoặc 0 B = hoặc 0 C = thì bất đẳng thức hiển nhiên đúng vì khi đó cả hai vế của bất đẳng thức đều bằng 0. Vậy ta chỉ xét trường hợp 0; 0; 0 A B C > > >

Đặt ; ; i i i i i i a b c x y z A B C = = = với 1;2;3 i =

Khi đó ta có:

3 3 3 1 2 3

3 3 3 1 2 3

3 3 3 1 2 3

1

1

1

x x x

y y y

z z z

⎧ + + = ⎪ + + = ⎨ ⎪ + + = ⎩

và bất đẳng thức cần chứng minh trở thành: 1 1 1 2 2 2 3 3 3 1 x y z x y z x y z + + ≤

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 3 số không âm: ( ) 3 3 3 ; ; 1;2;3 i i i x y z i = ta có:

3 3 3 1 1 1 1 1 1

3 3 3 2 2 2 2 2 2

3 3 3 3 3 3 3 3 3

3

3

3

x x x x y z

x x x x y z

x x x x y z

⎧ + + ≤ ⎪ ⎪ ⎪ + + ≤ ⎨ ⎪ ⎪ + + ≤ ⎪ ⎩

Cộng các bất đẳng thức trên lại ta được: 1 1 1 2 2 2 3 3 3 1 x y z x y z x y z + + ≤(đpcm)

Đẳng thức xảy ra

1 1 1

1 1 1 2 2 2 2 2 2

3 3 3 3 3 3

a b c A B C x y z a b c x y z A B C x y z a b c A B C

⎧ = = ⎪ = = ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⇔ = = ⇔ = = ⎨ ⎨ ⎪ ⎪ = = ⎩ ⎪ = = ⎪⎩

Hay ( ) : : : : 1;2;3 i i i a b c A B C i = = tức là: 1 1 1 2 2 2 3 3 3 : : : : : : a b c a b c a b c = = • Tổng quát : bất đẳng thức Bunhiacôpxki mở rộng cho rộng cho m dãy số thực không âm: Cho m dãy số thực không âm: ( ) 1 2 ; ;...; n a a a ,( ) 1 2 ; ;...; n b b b , … , ( ) 1 2 ; ;...; n K K K

Ta có: ( ) ( )( ) ( ) 1 1 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2 ... ... ... ... ... ... ... ... m m m m m m m m m m n n n n n n a b K a b K a b K a a a b b b K K K + + + ≤ + + + + + + + + +

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi:

1 1 1 2 2 2 : :...: : :...: : :...: n n n a b K a b K a b K = = ( chứng minh tương tự như trên) I- MỘT SỐ VÍ DỤ : Bài 1: Cho , , x y z là ba số dương thỏa 4 9 16 49 x y z + + = . Chứng minh rằng: 1 25 64 49 T x y z = + + ≥