Xem trước nội dung
Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi THCS Trang 1
1 BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CỰC TRỊ
Bài 1.1. (2005*) Tìm giá trịcủa x đểbiểu thức M = x2 −2x + 2005
x2 đạt giá trịnhỏnhất. Tìm
giá trịđó.
Giải
Điều kiện x ̸= 0. GiảsửM là một giá trịthuộc tập giá trịcủa hàm sốx2 −2x + 2005
x2 , khi đó tồn
tại x ̸= 0 đểM = x2 −2x + 2005
x2 . Quy đồng mẫu sốvà chuyển vếta được
(1 −M)x2 −2x + 2005 = 0. (1)
Nếu M = 1 thì x = 2005
2 .
Nếu M ̸= 1 thì đểphương trình (1) có nghiệm thì
∆≥0 ⇔1 −2005(1 −M) ≥0 ⇔M ≥2004
2005.
Từđó ta nhận thấy giá trịnhỏnhất của M là 2004
2005, xảy ra khi x = 2005.
Bài 1.2. (2005*) Cho a, b, c là ba sốdương thỏa mãn hệthức 1 1 + a + 1 1 + b + 1 1 + c ≥2. Chứng
minh rằng abc ≤1
8.
Giải
Từgiảthiết bài toán cùng với bất đẳng thức Cauchy ta có
1 1 + a ≥1 − 1 1 + b + 1 − 1 1 + c
= b 1 + b + c 1 + c
≥2
s
bc (1 + b)(1 + c).
Tương tựta cũng được
1 1 + b ≥2 r ca (1 + c)(1 + a), 1 1 + c ≥2
s
ab (1 + a)(1 + b).
Nhân ba bất đẳng thức cùng chiều dương ta được
1 (a + 1)(b + 1)(c + 1) ≥8 abc (a + 1)(b + 1)(c + 1),
hay
abc ≤1
8.
GV: Trần Minh Hiền(0989.541.123) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Trường THPT chuyên Quang Trung
Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi THCS Trang 2
Bài 1.3. (2006*) Cho a, b, c là độdài ba cạnh của một tam giác và a + b + c = 2. Chứng minh rằng: a2 + b2 + c2 + 2abc < 2.
Giải
Do a, b, c là ba cạnh của tam giác nên a < b + c, từđây ta có
2a < a + b + c = 2 ⇒a < 1.
Tương tựta cũng có b, c < 1. Từđó thì
(1 −a)(1 −b)(1 −c) > 0 ⇒1 −(a + b + c) + ab + bc + ca > abc ⇒abc < −1 + ab + bc + ca.
Suy ra 2abc < −2 + 2(ab + bc + ca).
Từđây thì
a2 + b2 + c2 + 2abc < a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ca) −2 = (a + b + c)2 −2 = 2.
Bài 1.4. (2007) Tìm giá trịlớn nhất của hàm sốy = (2x + 1)(2 −3x) với x ∈ −1
2, 2
3
.
Giải
Do x ∈ −1
2, 2
3
nên 2x + 1 ≥0 và 2 −3x ≥0. Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có
y = (2x + 1)(2 −3x)
= 1
6(6x + 3)(4 −6x)
≤1
6
6x + 3 + 4 −3x
2
2 = 1
6 × 49
4 = 49
24.
Dấu bằng xảy ra khi 6x + 3 = 4 −6x hay x = 1
12. Vậy max [−1
2 , 2
3] y = 49
24 khi x = 1
12.
Bài 1.5. (2007*) Cho ba sốa, b, c dương và thỏa abc = 1. Chứng minh rằng
a3
(1 + b)(1 + c) + b3
(1 + a)(1 + c) + c3
(1 + a)(1 + b) ≥3
4.
Giải
GV: Trần Minh Hiền(0989.541.123) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Trường THPT chuyên Quang Trung
Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi THCS Trang 3
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có
a3
(1 + b)(1 + c) + 1 + b
8 + 1 + c
8 ≥3 3 s
a3(1 + b)(1 + c) (1 + b)(1 + c)64 = 3
4a.
Tương tựta có hai bất đẳng thức nữa là
b3
(1 + a)(1 + c) + 1 + a
8 + 1 + c
8 ≥3
4b.
c3
(1 + a)(1 + b) + 1 + a
8 + 1 + b
8 ≥3
4c.
Cộng ba bất đẳng thức trên, và rút gọn ta được điều phải chứng minh.
Bài 1.6. (2008*) Cho a, b, c > 0 và a + b + c = 1, chứng minh rằng b + c ≥16abc.
Giải
Ta có
16abc ≤16.a. b + c
2
2 (áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai sốb và c)
= 4a.(b + c)2
= 4(b + c).a.(b + c)
≤4(b + c). a + b + c
2
2 (áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai sốa và b + c)
= 4(b + c).1
4 = b + c.
Bài 1.7. (2009) Tìm giá trịlớn nhất của biểu thức P = 3x2 + 5
x2 + 1 .
Giải
Ta biến đổi biểu thức P như sau
P = 3x2 + 5
x2 + 1
= 5(x2 + 1) −2x2
x2 + 1
= 5 −2. x2
x2 + 1.
Do vậy P ≤5. Dấu bằng xảy ra khi x = 0. Vậy Pmax = 5 khi x = 0.
Bài 1.8. (2009*) Cho x > y ≥0. Chứng minh rằng x + 4 (x −y)(y + 1)2 ≥3. Dấu bằng xảy ra khi
nào?
GV: Trần Minh Hiền(0989.541.123) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Trường THPT chuyên Quang Trung
Trên đây là phần đầu tài liệu — bấm Đọc sách để xem đầy đủ.
