Xem trước nội dung
SỰQUYỄN RŨ CỦA BẤT ĐẲNG THỨC
CHUYÊN ĐỀ Đánh giá trên biên
Bất đẳng thức là một trong những chủđềkhó của Toán học, đểgiải quyết được những bài toán hóc búa đòi hỏi chúng ta phải thông minh, sáng tạo, phải chịu khó tìm tòi phát triển và bên cạnh đó cần phải có phương pháp rõ ràng. Bài viết này giới thiệu với độc giảmột phương pháp rất quen thuộc trong giới nghiên cứu vềbất đẳng thức, đó là phương pháp: "ĐÁNH GIÁ TRÊN BIÊN", cũng có nhiều tài liệu nói là: "NHÌN VÀO ĐIỂM MÚT". Với tư cách một người biết một chút về Toán học, tôi đã thu thập và tham khảo ý kiến của nhiều thầy cô giáo yêu toán đểviết chuyên đề này. Tôi xin chân thành cám ơn các thầy cô: "Vũ Minh Thắng, Nguyễn ThếAnh - K41-ĐHSP Hà Nội", và các thầy có bút danh: "huyclvc - thaithuanGC - chienthan - vophung".
Cám ơn sựquan tâm của các bạn! Mọi ý kiến đóng góp đểgiúp cho bài viết được đầy đủvà chính xác hơn, vui lòng liên hệqua điện thoại hoặc hòm thư: tienthuy3385@gmail.com.
1 Một sốbất đẳng thức cơ bản
1) Định lý 1. Nếu f(x) là hàm sốbậc nhất theo x, thì với mọi x ∈[a, b] ta luôn có:
min{f(a), f(b)} ≤f(x) ≤max{f(a), f(b)}.
2) Định lý 2.
• Nếu f(x) là hàm lồi trên khoảng [a, b] thì ta có: f(x) ≥min{f(a), f(b)}.
• Nếu f(x) là hàm lõm trên khoảng [a, b] thì ta có: f(x) ≤max{f(a), f(b)}.
3) Định lý 3. Cho f(x) = ax2 + bx + c, (a , 0). Với x ∈[α, β] thì f(x) đạt giá trịmin hoặc
max tại x = α, x = β hoặc x = −b
2a (nếu −b
2a ∈[α, β].)
2 Một sốthí dụ
Bài toán 1. Cho x, y, z ∈[0, 2]. Chứng minh rằng:
2(x + y + z) −(xy + yz + zx) ≤4. (1)
Hướng dẫn. Ta sẽchuyển hết sang vếtrái và coi chúng như một hàm bậc nhất theo x. Sau đó ta áp dụng Định lý 1. và hoàn thiện chứng minh.
Lời giải. Ta có
2(x + y + z) −(xy + yz + zx) ≤4
⇔2(x + y + z) −(xy + yz + zx) −4 ≤0
⇔(2 −y −z)x + 2(y + z) −yz −4 ≤0.
- Xét hàm sốf(x) = (2 −y −z)x + 2(y + z) −yz −4, xác định trên [0, 2]. - Nhận thấy f(0) = 2(y + z) −yz −4 = −(2 −y)(2 −z) ≤0 và f(2) = −yz ≤0, áp dụng Định lý 1, ta có f(x) ≤max{f(0), f(2)} ≤0. (đpcm)
Bài toán 2. Cho a, b, c, d ∈[0, 1]. Chứng minh rằng:
(1 −a)(1 −b)(1 −c)(1 −d) + a + b + c + d ≥1. (2)
Lời giải. Ta có
(1 −a)(1 −b)(1 −c)(1 −d) + a + b + c + d ≥1
⇔[1 −(1 −b)(1 −c)(1 −d)] a + (1 −b)(1 −c)(1 −d) + b + c + d −1 ≥0.
Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - luyện thi đại học 1 Ths.Nguyễn Tiến Thùy No. 0974913435
SỰQUYỄN RŨ CỦA BẤT ĐẲNG THỨC
- Xét hàm sốf(a) = [1 −(1 −b)(1 −c)(1 −d)] a + (1 −b)(1 −c)(1 −d) + b + c + d −1, xác định trên [0, 1]. - Nhận thấy f(1) = b + c + d ≥0 và f(0) = (1 −b)(1 −c)(1 −d) + b + c + d −1 = g(b) = [1 −(1 −c)(1 −d)]b + (1 −c)(1 −d) + c + d −1(∗). - Xét g(1) = c + d ≥0, g(0) = (1 −c)(1 −d) + c + d −1 = cd ≥0, theo (∗) suy ra f(0) = g(b) ≥min{g(0), g(1)} ≥0, ∀b, c, d ∈[0, 1]. - Từđó ta có f(a) ≥min{ f(0), f(1)} ≥0, ∀a, b, c, d ∈[0, 1]. (đpcm)
Bài toán 3. Cho a, b, c, A, B,C ≥0 thỏa mãn: a + A = b + B = c + C = 1. Chứng minh rằng:
aA + bB + cC ≤1.
Lời giải. Ta có
aB + bC + cA ≤1
⇔a(1 −b) + b(1 −c) + c(1 −a) −1 ≤0
⇔a + b + c −ab −bc −ca −1 ≤0
⇔(1 −b −c)a −bc + b + c −1 ≤0.
- Xét hàm sốf(a) = (1 −b −c)a −bc + b + c −1, xác định trên [0, 1]. - Nhận thấy f(0) = −bc + c + b −1 = (1 −b)(c −1) ≤0 và f(1) = −bc ≤0, áp dụng Định lý 1 ta có f(a) ≤max{f(0), f(1)} ≤0, ∀a, b, c ∈[0, 1]. (đpcm)
Bài toán 4. [IMO] Cho ba sốdương x, y, z thỏa mãn x + y + z = 1. Chứng minh rằng:
xy + yz + zx −2xyz ≤7
27.
Lời giải. Ta có
xy + yz + zx −2xyz ≤7
27
⇔xy + yz + zx −2xyz −7
27 ≤0
⇔(1 −2z)xy + z(1 −z) −7
27 ≤0
Xét hàm sốf(xy) = (1 −2z)xy + z(1 −z) −7
27 với 0 ≤xy ≤ x + y
2
2 = 1 −z
2
!2 . Nhận thấy
f(0) = −z2 + z −7
27 = −(z −1
2)2 − 1 108 < 0 và f( 1 −z
2
!2 ) = −1
2
z −1
3
!2 z + 1
6
! ≤0, nên theo
Định lý 1 ta có f(xy) ≤max{f(0), f( 1 −z
2
!2 )} ≤0, ∀x, y, z thỏa mãn điều kiện bài toán. (đpcm)
Bài toán 5. Cho ba sốdương x, y, z thỏa mãn x + y + z = 1. Chứng minh rằng:
4(x3 + y3 + z3) + 15xyz ≥1.
Lời giải. Đánh giá 0 ≤xy ≤ x + y
2
2 = 1 −z
2
!2 .
Ta có
4(x3 + y3 + z3) + 15xyz ≥1
⇔4 h (x + y + z)((x + y + z)2 −3xy …
Trên đây là phần đầu tài liệu — bấm Đọc sách để xem đầy đủ.
