Bài tập có đáp án chi tiết về kĩ thuật chọn điểm rơi môn toán của thầy cao minh quang

1

CÁC KỈ THUẬT CƠ BẢN ðỂ CHỨNH MINH BẤT ðẲNG THỨC VÀ TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT TRONG CÁC KÌ THI TUYỂN SINH ðẠI HỌC, CAO ðẲNG, LỚP CHUYÊN, LỚP CHỌN

Cao Minh Quang1, THPT chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm, Vĩnh Long, e-mail: kt13quang@yahoo.com

*****

Bất ñẳng thức và bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất là những dạng toán khó không chỉ trong các kì thi học sinh giỏi các cấp mà còn thường hay xuất hiện trong các kì tuyển sinh ñại học, tuyển sinh vào lớp chuyên, lớp chọn.

Bài viết này xin nêu một số kỉ thuật cơ bản ñể chứng minh bất ñẳng thức và tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất.

1. Sử dụng kỉ thuật chọn “ñiểm rơi” của bất ñẳng thức AM – GM (bất ñẳng thức Cauchy).

Bất ñẳng thức AM – GM (bất ñẳng thức Cauchy) vốn rất quen thuộc với học sinh phổ thông và có rất nhiều ứng dụng. Phần này xin trình bày cách sử dụng kỉ thuật chọn “ñiểm rơi” (giá trị của (các) biến ñể xảy ra ñẳng thức) của bất ñẳng thức AM – GM trong việc chứng minh bất ñẳng thức. Trước hết, xin nêu lại bất ñẳng thức AM – GM

Cho n số thực không âm 1 2 , ,..., n a a a . Khi ñó

1 2 1 2 ... ... n n n a a a a a a n + + + ≥ hay 1 2 1 2 ... ... n n n

a a a a a a n + + + ≤

ðẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 1 2 ... n a a a = = = .

Ta thường áp dụng bất ñẳng thức AM – GM khi 2,3,4 n = . Ngoài ra, sử dụng bất ñẳng thức AM – GM, ta còn thu ñược các kết quả quan trọng sau: Cho , , a b c là các số thực dương, khi ñó

(1) 2 2 2 a b c ab bc ca + + ≥ + + hay a b c ab bc ca + + ≥ + + .

(2) ( ) ( ) 2 2 2 2 3 a b c a b c + + ≤ + + hay ( ) 2 2 2 1 3 a b c a b c + + ≥ + + .

(3) ( )( ) 1 1 4 a b a b + + ≥ hay ( ) 1 1 1 1 4 a b a b + ≤ + .

(4) ( )( ) 1 1 1 9 a b c a b c + + + + ≥ hay ( ) 1 1 1 1 1 9 a b c a b c + + ≤ + + .

Việc xác ñịnh ñiều kiện của (các) biến ñể xảy ra ñẳng thức trong bài toán bất ñẳng thức rất quan trọng, nó sẽ giúp ta rất nhiều trong việc ñịnh hướng cách giải.

ðể sử dụng kỉ thuật này ta cần kết hợp thêm kỉ thuật nhỏ sau ñây:

Kỉ thuật thêm bớt: 3 3 3 .1.1...1 . . . A A A B B B A A A A A A B = + − = × = = = , ñể tạo ra các biểu thức mới ở hai vế của bất ñẳng

thức mà ta có thể ñánh giá ñược.

Kỉ thuật ñổi biến: Một số bài toán có chứa căn thức, phân thức thì ta có thể ñổi biến ñể dễ nhận thấy các mối quan hệ của các ñại lượng, từ ñó ta có ñịnh hướng cho lời giải. Chẳng hạn những phép thế ñơn giản như 1 : , : a x a x = = ,…

Sau ñây là một số ví dụ. Ví dụ ñầu tiên là một bất ñẳng thức hết sức ñơn giản.

Bài toán 1. Cho , 0 x y > . Chứng minh rằng ( ) 2 2 1 1 2 x y x y x y + + + ≥ + .

Phân tích lời giải. Nhận thấy rằng, vế trái của bất ñẳng thức có chứa ñơn thức và phân thức, vế phải có chứa căn thức (bậc hai), và dễ

thấy ñẳng thức xảy ra khi 1 x y = = . Do ñó, ta sẽ dùng bất ñẳng thức AM – GM cho hai số 2 x và 1

x , 2 y và 1

y .

Lời giải. Sử dụng bất ñẳng thức AM – GM, ta có 2 2 2 2 1 1 1 1 2 . 2 ; 2 . 2 x x x y y y x x y y + ≥ = + ≥ = .

Cộng hai bất ñẳng thức ta thu ñược bất ñẳng thức cần chứng minh.

Bài toán 2. Cho 1 0 2 a < ≤ . Chứng minh rằng 2 1 9 2 a

a + ≥ .

Phân tích lời giải. Ta nhận thấy, từ 1 0 2 a < ≤ , ta có 2 1 4 a

≥ . Ngoài ra, khi 1 2 a = thì ñẳng thức ở (1) xảy ra và 2 1 2 16

a

a = .

Lời giải. Do ñó, sử dụng bất ñẳng thức AM – GM, ta nhận ñược

1 Mọi thứ ñều do làm việc mà có _ Alex Ferguson

www.VNMATH.com