Xem trước nội dung
Sử dụng ph−ơng trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
trong chứng minh bất đẳng thức
Lê Phi Hùng Tr−ờng THPT Năng Khiếu Hà Tĩnh
Trong các đề thi học sinh giỏi của Việt Nam cũng nh− nhiều n−ớc khác chúng ta gặp rất nhiều các bài toán bất đẳng thức (BĐT) có dạng nh− sau:
Cho số n ∈ N* và các số a1, a2… an ∈ D thoả mãn a1 + a2 + … + an = nα, với α ∈ D. Chứng minh rằng f(a1) + f(a2) + … + f(an) ≥ nf(α) (hay hoàn toàn t−ơng tự là
f(a1) + f(a2) +… + f(an) ≤ nf(α)), đẳng thức xảy ra khi a1 = a2 = … = an = α.
Dạng toán này có tính chất nổi bật: vÕ trái là biểu thức đối xứng đối với các biến a1, a2,…, an nên th−ờng có nhiều cách giải. Tuy nhiên việc tìm ra một ph−ơng pháp chung để có thể giải đ−ợc hàng loạt bài toán nh− thế thì hoàn toàn không đơn giản.
Trong ph−ơng pháp của bài viết này chúng ta sẽ vận dụng giả thiết a1 + a2 + … + an = nα một cách linh hoạt, đó là ta sẽ tìm các hằng số A, B thích hợp để có đánh giá
f(x) ≥ Ax + B với mọi x ∈ D, đẳng thức xảy ra khi x = α. Đối với nhiều bài toán, biểu thức y = Ax + B đ−ợc chọn ë đây chính là ph−ơng trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại x = α.
Một kiến thức cơ bản xin đ−ợc nhắc lại ë đây: ph−ơng trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại x = α là : y = f’(α)(x − α) + f(α) .
Nhìn qua ph−ơng pháp này chúng ta sẽ thấy nó “t−ơng tự” với ph−ơng pháp sử dụng BĐT Jensen - còn gọi là BĐT hàm lồi. Thật sự ë đây ph−ơng pháp này sẽ “tốt” hơn. Nếu sử dụng BĐT Jensen đ−ợc thì ph−ơng pháp này cũng sử dụng đ−ợc nh−ng điều ng−ợc lại thì có thể không xảy ra.
Ta có sự minh hoạ bằng đồ thị:
Hàm số y = f(x) không lồi trên miền D = [p, q] nh−ng có đồ thị vẫn “nằm trên” tiếp tuyến y = Ax + B của nó tại x = α ∈ D. Trong bài toán này không thể áp dụng BĐT hàm lồi đ−ợc những vẫn có thể dùng “ph−ơng pháp tiếp tuyến” để giải quyết bài toán.
y
x q α p O
y = f(x)
y = Ax + B
Sau đây chúng tôi xin trình bày ứng dụng của ph−ơng pháp để giải quyết một số bài toán đ−ợc trích dẫn từ một số đề thi Olympic của n−ớc ta và các n−ớc trên thế giới. Trong một số bài toán có thể chúng ta phải sử dụng linh hoạt các giả thiết và tính chất của các biểu thức trong bài toán để vận dụng ph−ơng pháp một cách hiệu quả nhất.
1
Bài toán 1. (Hồng Kông, 2005). Cho các số d−ơng a, b, c, d thoả mãn a + b + c + d = 1. Chứng minh rằng
3 3 3 3 6( ) a b c d + + + ≥ 2 2 2 2 1 8 a b c d + + + + (1.1)
Lời giải
Từ giả thiết ta có a, b, c, d ∈ (0, 1) và BĐT t−ơng đ−ơng với
f(a) + f(b) + f(c) + f(d) ≥ 1 8 (1.2)
trong đó f(x) = 6x3 – x2.
Xét f(x) trên (0, 1). Tiếp tuyến của đồ thị y = f(x) tại x = 1 4 có ph−ơng trình
y = 5 8 x - 1 8 . Mặt khác f(x) – ( 5 8 x - 1 8 ) = 6x3 – x2 – ( 5 8 x - 1 8 ) = 1 8 (4x – 1)2(3x + 1) ≥ 0
với mọi x ∈ (0, 1) hay f(x) ≥ 5 8 x - 1 8 với mọi x ∈ (0, 1). Từ đó suy ra
f(a) + f(b) + f(c) + f(d) ≥ 5 8 .(a + b + c + d) – 4. 1 8 = 1 8 .
Vậy BĐT đ−ợc chứng minh. Đẳng thức xảy ra ⇔ a = b = c = d = 1 4 .
Bài toán 2. (Mỹ, 2003). Cho các số thực d−ơng a, b, c. Chứng minh rằng
2 2
2 2 2 2 2 2 (2 ) (2 ) (2 ) 8 2 ( ) 2 ( ) 2 ( ) a b c b c a c a b a b c b c a c a b + + + + + + 2 + + ≤ + + + + + + (2.1)
Lời giải
Do tính đẳng cấp của các số hạng ë VT nên ta có thể đ−a về xét với a + b + c = 3.
Khi đó số hạng đầu tiên sẽ là
2 2
2 2 2 ( 3) 6 9 2 (3 ) 3 6 a a a a a a a 9 + + + = + − − + và hai số hạng t−ơng tự ta sẽ
có BĐT t−ơng đ−ơng
2
2 6 9 2 3 a a a a + + − + +
2
2 6 9 2 3 b b b b + + − + +
2
2 6 9 2 3 c c c c + + − + ≤ 24 (2.2)
Xét hàm số f(x) =
2
2 6 2 3 x x x x + + − +
9 trên (0, 3). Ph−ơng trình tiếp tuyến của y = f(x) tại
x = 1 là y = 4x + 4. Ta xét hiệu f(x) - (4x + 4) =
2
2 6 9 2 3 x x x x + + − + - (4x + 4) =
-
2
2 ( 1) (4 3 2 3 x x x x − + − +
) ≤ 0 với mọi x ∈ (0, 3). Từ đó f(x) ≤ 4x + 4 mọi x ∈ (0, 3).
2
Trên đây là phần đầu tài liệu — bấm Đọc sách để xem đầy đủ.
