Xem trước nội dung
ỨNG DỤNG CỦA PHÉP NHÓM ABEL1
TRONG CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC
ĐỗTrọng Đạt - Vũ Thanh Tú - Vũ Đình Việt - Trần Trung Kiên
I. Lời nói đầu
Trong quá trình làm toán, chúng ta đã từng tiếp cận với rất nhiều các đẳng thức. Tuy nhiên, khi đứng trước mỗi một đẳng thức đó có bao giờbạn tựhỏi liệu nó còn có ứng dụng gì không, liệu có thểáp dụng nó vào chứng minh bất đẳng thức? Trong bài viết này, chúng tôi xin giới thiệu với các bạn công thức khai triển Abel. Cho x1, x2, ...., xn và y1, y2, ..., yn là các sốthực tùy ý.Đặt ck = y1+y2+...+yk ∀k ∈R, 1 ≤k ≤n.Khi đó: x1y1 + x2y2 + .... + xnyn = (x1 −x2)c1 + (x2 −x3)c2 + ... + (xn−1 −xn)cn−1 + xncn
Cách phát biểu và chứng minh hết sức đơn giản. Tuy nhiên, đằng sau vẻbềngoài đơn giản đó là một phương pháp khá hiệu quảtrong chứng minh bất đẳng thức.Đặc biệt là các bài toán có điều kiện nhiều và phức tạp.
II. Bài toán mởđầu
Cho các sốthực dương a, b, c thỏa a ≥b ≥1, a ≤3, ab ≤6, ab ≤6c.Chứng minh rằng:
a + b −c ≤4
Lời giải: Bất đẳng thức cần chứng minh được viết lại dưới dạng:
a + b + 1 ≤3 + 2 + c
Ta có đẳng thức sau:
3 + 2 + c = (a −b).3
a + 3
a + 2
b
(b −1) + 3
a + 2
b + c
Nhưng mặt khác theo giảthiết và bất đẳng thức AM-GM ta có:
(a−b).3
a+ 3
a + 2
b
(b−1)+ 3
a + 2
b + c ≥(a−b)3
a+2(b−1)
r
6 ab+3 3 r
6c ab ≥a−b+2(b−1)+3 = a+b+1
Vậy 3 + 2 + c ≥a + b + 1
Và ta có điều phải chứng minh. □
Chắc chắn ngay khi đọc lời giải cho bài toán “ đơn giản” này bạn có phần lúng túng và không hiểu tại sao lại có thểtách được một cách "hợp lý" như vậy. Phải chăng là dựđoán một cách “vô
1Niels Henrik Abel (1802-1829) là một nhà toán học người Na Uy.
1
diendantoanhoc.net [VMF]
hướng” hoặc cũng có người sẽnghĩ bài toán trên được tạo ra từchính bất đẳng thức phụđó. Câu trảlời là hoàn toàn không phải. Tất cảđều đi theo 1 qui luật của nó. Ởcác phần tiếp theo chúng tôi sẽphân tích rõ hơn giúp bạn đọc có thểkhái quát một phần nào đó vềphương pháp này.
• Khai triển Abel tổng quát: Cho x1, x2, ...., xn và y1, y2, ..., yn là các sốthực tùy ý. Đặt ck = y1 + y2 + ... + yk ∀k ∈R, 1 ≤k ≤n. Khi đó:
x1y1 + x2y2 + .... + xnyn = (x1 −x2)c1 + (x2 −x3)c2 + ... + (xn−1 −xn)cn−1 + xncn
Và 2 đẳng thức thường dùng là:
a1b1 + a2b2 = (a1 −a2)b1 + a2(b1 + b2)
a1b1 + a2b2 + a3b3 = (a1 −a2)b1 + (a2 −a3)(b1 + b2) + a3(b1 + b2 + b3)
• Chúng ta sẽcùng nhau đến với 1 sốví dụđiển hình:
III. Các bài toán
Ví dụ1. Cho 0 < β ≤y ≤x, α > 0 và xy ≥α.β. Chứng minh:
1 x + 1
y ≤1
α + 1
β Phân tích và tìm tòi lời giải Đối với những bài toán sửdụng khai triển Abel,chúng ta hãy đi từvếlớn hơn hoặc bằng trước,sau đó phân tích đểcó xuất hiện nhân tửcủa vếnhỏhơn hoặc bằng:
1 α + 1
β = 1
x.x
α + 1
y.y
β
Nếu tinh ý,chắc hẳn các bạn cũng thấy được ẩn ý của khi phân tích như vậy.Nếu muốn chứng minh A + B ≥X + Y thì cách tách hợp lí nhất đểdùng khai triển Abel chính là:
A + B = X.b1 + Y.b2
Sao cho khi dấu bằng xảy ra thì b1 = b2 = 1. Bây giờáp dụng khai triển Abel ta có:
x α.1
x + y
β .1
y = 1
y −1
x
y
β + 1
x. x
α + y
β
≥1
y −1
x + 1
x.2 r xy
α.β ≥1
y −1
x + 1
x.2 = 1
x + 1
y
Vậy bài toán được chứng minh. Dấu bằng xảy ra tại x = α, y = β □
Ví dụ2. Cho 0 < β ≤y ≤x, α > 0 và α.y + β.x ≥2α.β.Chứng minh
1 x2 + 1
y2 ≤1
α2 + 1
β2
Lời giải:
2
diendantoanhoc.net [VMF]
Trên đây là phần đầu tài liệu — bấm Đọc sách để xem đầy đủ.
