Bài tập tổng hợp có đáp án chi tiết về hệ phương trình

1

PHẦN 1.HỆ PHƢƠNG TRÌNH ĐƠN GIẢN 4 A.HỆ PHƢƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN 4 I.HỆ PHƢƠNG TRÌNH CỔ ĐIỂN 4 B.HỆ PHƢƠNG TRÌNH BẬC NHẤT BA ẨN 13 C.HỆ PHƢƠNG TRÌNH BẬC HAI HAI ẨN 16 I.HỆ GỒM 1 PHƢƠNG TRÌNH BẬC NHẤT VÀ 1 PHƢƠNG TRÌNH BẬC HAI 16 II. HỆ PHƢƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG LOẠI 1 17 III. HỆ PHƢƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG LOẠI 2 29 IV. HỆ PHƢƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP 35 D. HỆ PHƢƠNG TRÌNH VÔ TỈ 42 E.HÊ PHƢƠNG TRÌNH CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI 75 F.HỆ PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC 92 PHẦN 2. HỆ PHƢƠNG TRÌNH KHÔNG MẪU MỰC 103 PHẦN 3. TRẮC NGHIỆM 122 PHẦN 4. CÓ THỂ EM CHƢA BIẾT ? 133 PHẦN 5. PHỤ LỤC 137

Trang

2

A.HỆ PHƢƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN I. Hệ phương trình cổ điển: 1/ Phƣơng pháp:

Hệ pt bậc nhất 2 ẩn có dạng: 1 1 1

2 2 2 a x b y c a x b y c      

* TH 1: a1 = b1= a2= b2=0, ta có; 1

2

0

0

c

c

        

* TH2: 2 1 2 2 1 1 2 2 0 a b a b     .

Tính:

1 1

2 2

a b D a b  ;

1 1

2 2 x

c b D c b  ;

1 1

2 2 y

a c D a c 

+ Nếu 0 D  : hệ phương trình có 1 nghiệm duy nhất:

x

y

D x D D y D

    

+ Nếu D = 0

0 x D  hay 0 y D  : hệ phương trình vô nghiệm.

Dx = Dy = 0 : hệ phương trình có vô số nghiệm: x R  , được tính theo x

2/ Ví dụ:

VD1: Giải hệ phương trình:

6 3 2 5 1 1 4 2 4 2 1 1

x y y x x y y x

               

Đặt 2 1, 1 1 x y u v y x     . Hệ đã cho trở thành

2 3 2 5

1 2 4 2

2

u u v u v v

             

Ta được hệ phương trình:

2 1 2 0 2 2 1 1 1 2 1 1 2 1 2

x x x y y

x y y y x

                          

Vậy 1 0; 2 S            

Đúng: hpt có vô số nghiệm , x R y R  

Sai: hpt vô nghiệm

3

VD2:Định m để hệ vô nghiệm

    

2 2 3 1 3

2

m x m y

I m x y y

        

    

2 2 3 1 3

2 2

m x m y I

mx m y

         

Ta có        

2 3 2 2 2 3 1 2 7 3

3 2 6 1 3 x

D m m m m m m m

D m m m

      

    

Hệ đã cho vô nghiệm



  2 3 2

2

0

0

2 7 3 0 2 7 3 0 3 0 0

1 2 7 3 0 3 2

x

D I D

m m m m m m m m

m m m m

    

                 

       

Vậy hệ vô nghiệm khi: 1 3 2 m m  

VD3: định m để hệ có vô số nghiệm:  

4 1

6 2 3

x my m

m x y m

         

Ta có:

 

   

   

2

2

2

8 6 6 8

2 1 3 2

4 3 1 6 11 18

x

y

D m m m m

D m m m m m

D m m m m m

    

      

       

Hệ có vô số nghiệm

0

0

0

x

y

D

D

D

        

2

2

2

6 8 2 4 2 2 1 2 2 9 11 18

m m m m m m m m m m m m m

                          

Vậy hệ có vô số nghiệm khi m= -2. VD 4: Tìm các giá trị của b sao cho với mọi thì hệ phương trình sau có nghiệm

 

2 2

1

x ay b

ax a y b

      

Ta có:

2

2

1 2

1 0 2 1 0 1 2

D a a

D a a a a

 

      

4

Thì hệ luôn có nghiệm

Khi a = -1, hệ trở thành: 2 2

2

x y b

x y b

     

Hệ có nghiệm 2 2 0 0 1 b b b b b b         

Khi 1 2 a  , hệ trở thành 2 2

x y b

x y b

     

Hệ có nghiệm   2 1 2 2 1 0 0 2 b b b b b b         

Vậy hệ có nghiệm với mọi akhi:

0 1

0 1 0 2

b b

b b b

         

VD5: Giải và biện luận hệ phương trình sau:

   

1 1

1 1

a x by

b x ay

       

Hệ tương đương: 1 1 1 1 ax a by ax by a bx b ay bx ay b                  

Ta có:

     

2 2

1 x

y

D a b a b a b

D a b a b

D a b

    

   

 

Biện luận: 1/ 2 2 0 0 D a b a b       Hệ có nghiệm duy nhất:

     

1

1

x

y

a b a b D x D a b a b

D y D a b

      

  

2/ 0; 0; 0 x y a b D D D     

* 0 b  : Hệ có vô số nghiệm. 3/ ; 0; 2 y a b D D b   

0; 0; 0 y b D D     hệ vô nghiệm

4/ 0. 0. 1 0: 0. 0. 1 x y a b x y         

 hệ vô nghiệm

VD6: Tìm m để hệ phương trình ( 1) 8 4 ( 3) 3 1 m x y m mx m y m          

có nghiệm duy nhất

Hướng dẫn giải:

Ta có: 1 m D m

  8

3 m 

2 ( 1)( 3) 8 4 …