Xem trước nội dung
PHƯƠNG PHÁP LIÊN HỢP
𝟒𝐱−𝟐= √𝐱𝟐−𝐱+ 𝟏+ √𝟐𝐱−𝟏Phân tíchBài toán chứa haicăn thứ
𝐱≥
𝟏
𝟐Đặt √𝟐𝐱−𝟏= 𝐭, 𝐭≥𝟎=> =
𝐭𝟐+𝟏
𝟐; 𝐱𝟐−𝐱+ 𝟏=
𝐭𝟒+𝟑
𝟒; 𝟒𝐱−𝟐= 𝟐𝐭𝟐Khi đó (1)
𝟐𝐭𝟐= √𝐭𝟒+𝟑
𝟒 + 𝐭𝟒𝐭𝟐−𝟐𝐭−√𝐭𝟒+ 𝟑= 𝟎 (𝟏′)Đoán được phương trình ban đầu
𝐱= 𝟏nên 𝐭có giá trịbằng 1hay phương trình (1’) có nhân t (𝐭−𝟏), và đây là nghiệm duy nhất,ta tiến hành nhân liên hợp,nếu liên hợp với h
(𝐭−𝟏) (𝟒𝐭−𝟐−
(𝟏+𝐭)(𝟏+𝐭𝟐)
𝟐+√𝐭𝟒+𝟑) = 𝟎
[
𝐭=𝟏
𝟒𝐭−𝟐=
(𝟏+𝐭)(𝟏+𝐭𝟐)
𝟐+√𝐭𝟒+𝟑 (𝟏′′) Phải chăng với
𝐭≥𝟎thì (1’’) chưa vô nghiệm,ta phải đi chứng minh nó vô nghiệm hoặc có tiếp
(1’’)>0 hoặc (1’’)<0 với điều kiện nào đ
(𝐭−𝟏)bên trong là một mớchưa biết dấu,nênta nghĩ h 𝐭𝟒,nghĩa là nhân liên hợp cần (𝐭𝟐+ 𝐱)(với 𝐱 là hằng số),tìm 𝐱khá đơn giản vì khithay 𝐭= 𝟏,căn có giá trịlà 2,vậy biểu thức liên hợp cũng phải có giá trịbằng 2,hay 𝐱+ 𝟏= 𝟐𝐱= 𝟏,từđó biểu thức liên hợp cần tìm là: 𝐭+ 𝟏Khi đó (1’) 𝟑𝐭𝟐−𝟐𝐭−𝟏+ (𝐭𝟐+ 𝟏−√𝐭𝟒+ 𝟑) = 𝟎
(𝐭−𝟏)(𝟑𝐭+ 𝟏) +
𝟐𝐭𝟐−𝟐
𝐭𝟐+𝟏+√𝐭𝟒+𝟑= 𝟎
(𝐭−𝟏) [𝟑𝐭+ 𝟏+
𝟐(𝐭+𝟏)
𝐭𝟐+𝟏+√𝐭𝟒+𝟑] = 𝟎
𝐭= 𝟏(Do 𝟑𝐭+ 𝟏+
𝟐(𝐭+𝟏)
𝐭𝟐+𝟏+√𝐭𝟒+𝟑> 𝟎 ∀𝐭≥𝟎)
√𝟐𝐱−𝟏= 𝟏𝐱= 𝟏Kết luận:Nghiệm
𝐱= 𝟏là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho.Bình luậnBài toán đã thểhi
𝟒𝐱+ 𝟏𝟐= (𝟑𝐱+ 𝟖)√𝐱+ 𝟔−(𝟒𝐱+ 𝟏𝟑)√𝐱+ 𝟐 Phân tích Vẫn là bài toán chứ
𝐱≥−𝟐Đặt √𝐱+ 𝟐= 𝐭, 𝐭≥𝟎=> 𝐱= 𝐭𝟐−𝟐Thay vào phương trình ban đầu và rút gọn,tađược:
𝟒𝐭𝟑+ 𝟒𝐭𝟐+ 𝟓𝐭+ 𝟒−(𝟑𝐭𝟐+ 𝟐)√𝐭𝟐+ 𝟒= 𝟎(𝟐)Nhìn vào phương trình (2) ta lại hướng tớ
(𝟑𝐭𝟐+ 𝟐) > 𝟎 rồi nên ta đặt luôn ra ngoài,tìm biểu thức liên hợp như câu trên,ta được biểu thức nh
𝐭+ 𝟐(2) 𝐭𝟑−𝟐𝐭𝟐+ 𝟑𝐭+ (𝟑𝐭𝟐+ 𝟐)(𝐭+ 𝟐−√𝐭𝟐+ 𝟒) = 𝟎
𝐭(𝐭𝟐−𝟐𝐭+ 𝟑) +
𝟒𝐭(𝟑𝐭𝟐+𝟐)
𝐭+𝟐+√𝐭𝟐+𝟒=𝟎= 𝟎
𝐭[(𝐭−𝟏)𝟐+ 𝟐+
𝟒(𝟑𝐭𝟐+𝟐)
𝐭+𝟐+√𝐭𝟐+𝟒=𝟎] = 𝟎
[
𝐭=𝟎
(𝐭−𝟏)𝟐+𝟐+ 𝟒(𝟑𝐭𝟐+𝟐)
𝐭+𝟐+√𝐭𝟐+𝟒=𝟎
=𝟎 (𝐕𝐍)
√𝐱+ 𝟐= 𝟎𝐱= −𝟐Kết luận:Nghiệm
𝐱= −𝟐là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho.Ví dụ3: Giải phương trình
𝟐−𝐱
𝟒 = √𝟐𝐱−𝟑−√𝐱−𝟏
𝟑Phân tíchThấy phương trình có nghiệm
𝐱= 𝟐,áp dụng tư tưởng trên,ta đi đặt √𝟐𝐱−𝟑 làm ẩn rồi biểu thịcác
𝐱≥
𝟑
𝟐Đặt √𝟐𝐱−𝟑= 𝐭, 𝐭≥𝟎=> 𝐱=
𝐭𝟐+𝟑
𝟐Khi đó PT
𝟐−𝒕𝟐+𝟑
𝟐 𝟒 = 𝒕−√𝒕𝟐+𝟑
𝟐 −𝟏 𝟑 𝒕𝟐+ 𝟖𝒕−𝟏−√𝟐𝟓𝟔(𝒕𝟐+ 𝟏)
𝟑 = 𝟎
(𝒕𝟐−𝟏) + (𝟖𝒕−√𝟐𝟓𝟔(𝒕𝟐+ 𝟏)
𝟑 ) = 𝟎
(𝒕−𝟏)(𝒕+ 𝟏) +
𝟐𝟓𝟔(𝟐𝒕𝟑−𝒕𝟐−𝟏)
√𝟐𝟓𝟔(𝒕𝟐+𝟏) 𝟑 𝟐
+𝟖𝒕√𝟐𝟓𝟔(𝒕𝟐+𝟏)
𝟑 +𝟔𝟒𝒕𝟐
= 𝟎
(𝒕−𝟏) [𝒕+ 𝟏+
𝟐𝟓𝟔(𝟐𝒕𝟐+𝒕+𝟏)
√𝟐𝟓𝟔(𝒕𝟐+𝟏) 𝟑 𝟐
+𝟖𝒕√𝟐𝟓𝟔(𝒕𝟐+𝟏)
𝟑 +𝟔𝟒𝒕𝟐
] = 𝟎
[
𝒕=𝟏
𝒕+𝟏+ 𝟐𝟓𝟔(𝟐𝒕𝟐+𝒕+𝟏)
√𝟐𝟓𝟔(𝒕𝟐+𝟏) 𝟑 𝟐
+𝟖𝒕√𝟐𝟓𝟔(𝒕𝟐+𝟏) 𝟑 +𝟔𝟒𝒕𝟐
=𝟎 (𝑽𝑵)
√𝟐𝒙−𝟑= 𝟏𝒙= 𝟐Kết luận:Vậy
𝒙= 𝟐là nghiệm duy nhất của phương trình
Ví dụ4:Giải phương trình sau:
(𝟑+ √𝟕𝒙−𝟔
𝟑 )(𝟒+ √𝟕−𝟑𝒙) ≤−𝒙𝟐+ 𝟒𝒙+ 𝟐𝟏Phân tíchGặp bài toán chứa
𝒙= 𝟏; 𝒙= 𝟐, 𝒙= −𝟑 giá trịẩn phụcũng đẹp nên ta càng tựtin vềphương pháp nhân liên hợp
𝒙≤
𝟕
𝟑Đặt √𝟕−𝟑𝒙= 𝒕, 𝒕≥𝟎=> 𝒙=
𝟕−𝒕𝟐
𝟑BPT
(𝟑+ √𝟕(
𝟕−𝒕𝟐
𝟑) −𝟔 𝟑 ) (𝟒+ 𝒕) ≤−(
𝟕−𝒕𝟐
𝟑)
𝟐
+ 𝟒(
𝟕−𝒕𝟐
𝟑) + 𝟐𝟏
(𝟑+ √𝟑𝟏−𝟕𝒕𝟐
𝟑
𝟑 ) (𝒕+ 𝟒) +
𝒕𝟒−𝟐𝒕𝟐−𝟐𝟐𝟒
𝟗 ≤𝟎
𝟗(𝟑+ √𝟑𝟏−𝟕𝒕𝟐
𝟑
𝟑 ) + (𝒕𝟑−𝟒𝒕𝟐+ 𝟏𝟒𝒕−𝟓𝟔) ≤𝟎 Giờta sẽliên hợp ra sao khi đã biết bangh
𝒕= 𝟏, 𝒕= 𝟐, 𝒕= 𝟒 cách làm tốt nhất là ta cứtạo (𝒕−𝟏)(𝒕−𝟐)(𝒕−𝟒)thừa thiếu tính sau và cái đó sẽdành cho phần kia. C
(𝒕−𝟏)(𝒕−𝟐)(𝒕−𝟒) + 𝟑(√𝟗(𝟑𝟏−𝟕𝒕𝟐)
𝟑 + 𝒕𝟐−𝟕) ≤𝟎
(𝒕−𝟏)(𝒕−𝟐)(𝒕−𝟒) +
𝟑(𝒕−𝟏)(𝒕−𝟐)(𝒕−𝟒)(𝒕+𝟏)(𝒕+𝟐)(𝒕+𝟒)
√𝟗(𝟑𝟏−𝟕𝒕𝟐) 𝟑 𝟐
−(𝒕𝟐−𝟕) √𝟗(𝟑𝟏−𝟕𝒕𝟐)
𝟑 +(𝒕𝟐−𝟕)𝟐≤𝟎
(𝒕−𝟏)(𝒕−𝟐)(𝒕−𝟒) [𝟏+
𝟑(𝒕+𝟏)(𝒕+𝟐)(𝒕+𝟒)
√𝟗(𝟑𝟏−𝟕𝒕𝟐) 𝟑 𝟐
−(𝒕𝟐−𝟕) √𝟗(𝟑𝟏−𝟕𝒕𝟐)
𝟑 +(𝒕𝟐−𝟕)𝟐] ≤𝟎
(𝒕−𝟏)(𝒕−𝟐)(𝒕−𝟒) ≤𝟎Bình luậnĐểcó lời giải trên,trước hết ta phải nhận rad
(𝒕+ 𝟒)phần nữa là có banghiệm đẹp,ta ép luôn có nhân tử
Trên đây là phần đầu tài liệu — bấm Đọc sách để xem đầy đủ.
