Chuyên đề đường tiệm cận của đồ thị hàm số Toán 12 định hướng cấu trúc mới

KHẢO SÁT HÀM SỐ TOÁN 12

LÊ BÁ BẢO TRƯỜNG THPT ĐẶNG HUY TRỨ - ADMIN CLB GIÁO VIÊN TRẺ TP HUẾ

ĐƯỜNG TIỆM CẬN

CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ

 LUYỆN THI THPT QUỐC GIA  CẬP NHẬT TỪ ĐỀ THI MỚI NHẤT

Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luyện thi THPT 2025

Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935.785.115

Chủ đề 3: ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ I. LÝ THUYẾT

Cho hàm số ( ) y f x = xác định trên một khoảng vô hạn (là khoảng dạng ( ; ), ( ; ) a b + − hoặc

( ; ) −+). 1. Đường tiệm cận đứng Đường thẳng 0 x x = được gọi là đường tiệm cận đứng (hay tiệm cận đứng) của đồ thị hàm số

( ) y f x = nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thoả mãn:

(1)

(3) (4)

0 0

0 0

lim ( ) lim ( ) (2)

lim ( ) lim ( )

x x x x

x x x x

f x f x

f x f x

+ +

− −

→ →

→ →

= + = −

= + = −

Nhận xét: Đối với hàm phân thức ( ) ( ) u x y v x = thì tiệm cận đứng 0 x x = thì 0 x thường là nghiệm của

phương trình ( ) 0 v x = . 2. Đường tiệm cận ngang Đường thẳng 0 y y = được gọi là đường tiệm cận ngang ( hay tiệm cận ngang) của đồ thị hàm số

( ) y f x = nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thoả mãn:

(5) (6) 0 0 lim ( ) lim ( ) x x f x y f x y →+ →− = =

3. Đường tiệm cận xiên Đường thẳng , 0 y ax b a = +  , được gọi là đường tiệm cận xiên (gọi tắt là tiệm cận xiên) của đồ

thị hàm số ( ) y f x = nếu:

lim ( ) ( ) 0 x f x ax b →+  − + =   Hoặc: lim ( ) ( ) 0 x f x ax b →−  − + =  

Chú ý: Để xác định các hệ số ,a b trong phương trình của tiệm cận xiên, ta có thể áp dụng các công thức sau:

; ( ) lim lim ( ) x x f x a b f x ax x →+ →+  = = −  

Hoặc: ; ( ) lim lim ( ) x x f x a b f x ax x →− →−  = = −  

Nhận xét: Thông thường khi xác định các đường tiệm cận của hàm số, ta nên tính tất cả các giới hạn ở trên. MỘT SỐ KẾT QUẢ CẦN LƯU Ý

Kết quả 1: Đồ thị hàm số ( ) , 0, 0 ax b y ad bc c cx d + = −   + có tiệm cận đứng ; d x c = − tiệm cận ngang

a y c = thì ; d a I c c   −    

là tâm đối xứng của đồ thị hàm số.

Kết quả 2: Hàm số

2 ax bx c y dx e

.

Thực hiện phép chia đa thức để biến đổi hàm số về dạng: ( . 0) C y Ax B AC dx e

+) Tiệm cận đứng: e x d

(nghiệm của mẫu)

+) Tiệm cận xiên: y Ax B

Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luyện thi THPT 2025

Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935.785.115

Công thức nhanh tìm tiệm cận xiên: 2 a bd ae y x d d

Kết quả 3: Không tồn tại tiếp tuyến của đồ thị hàm số ( ) : ax b H y cx d + = + qua tâm đối xứng của ( ). H

Kết quả 4: Đồ thị hàm số ( ) : ax b H y cx d + = + có tiệm cận đứng 1;  tiệm cận ngang 2  thì với điểm M bất

kì thuộc ( ) H ta có:

+) ( ) ( ) 1 2 2 ; . ;

ad bc T d M d M

c

− =   = +) ( ) ( ) 1 2 2 ; ; 2

ad bc T d M d M

c

− =  +  

II. BÀI TẬP MINH HỌA Câu 1: Cho hàm số ( ) y f x = có ( ) lim 1 x f x →+ = và ( ) lim 1 x f x →− = −. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. Đồ thị hàm số nhận 1 y = và 1 y = − là tiệm cận ngang.

B. Đồ thị hàm số nhận 1 x = và 1 x = − là tiệm cận ngang. . C. Đồ thị hàm số không có tiệm cận. D. Đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang. Câu 2: Nếu hàm số ( ) y f x = thỏa mãn điều kiện ( ) lim 2019 x f x →− = thì đồ thị hàm số có đường tiệm cận

ngang là A. 2019 y = . B. 2019 x = . C. 2019 y = − . D. 2019 x = − .

Lời giải: Ta có ( ) lim 2019 x f x →− = nên đồ thị hàm số có đường tiệm cận ngang là 2019 y = .

Câu 3: Cho hàm số ( ) f x xác định trên  \ 1 và có ( ) lim 2, x f x →− = − ( ) 1 lim , x f x + → = +

( ) 1 lim , x f x − → = + ( ) lim 2. x f x →+ = Khẳng định nào sau đây đúng?

A. Đồ thị hàm số đã cho có đúng một tiệm cận ngang là đường thẳng 1 y = .

B. Đồ thị hàm số đã cho có đúng hai tiệm cận ngang là các đường thẳng 2 y = và 2. y = −

C. Đồ thị hàm số đã cho có đúng hai tiệm cận đứng là các đường thẳng 2 x = và 2. x = − D. Đồ thị hàm số đã cho không có tiệm cận đứng. Câu 4: Cho hàm số ( ) y f x = có bảng biến thiên như sau:

Tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số ( ) y f x = là

A. 3 . B. 0 . C. 1. D. 2 . Lời giải: Do

2 lim 5, lim 1,lim x x x y y y − →+ →− → = = = − nên đồ thị hàm số có hai tiệm cận …