Toán 8 - Chuyên đề 1 Nhân đa thức

1

Chuyên đề 1 : NHÂN ĐA THỨC * KIẾN THỨC CƠ BẢN - Muốn nhân một đơn thức với một đa thức, ta nhân đơn thức với từng hạng tử của đa thức rồi

cộng các tích lại với nhau.   A B C D AB AC AD     

- Muốn nhân một đa thức với một đa thức, ta nhân mỗi hạng tử của đa thức này với từng hạng tử của đa thức kia rồi cộng các tích tìm được với nhau.

   A B C D E AC AD AE BC BD BE         

CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI Dạng 1) Tính giá trị của biểu thức A(x, y) tại x = ?, y = ? Phương pháp :

- Thay trực tiếp. - Rút gọn rồi thay giá trị. Ví dụ : Cho biểu thức 6 5 4 3 2 E x 6x 6x 6x 6x 6x 6        Hãy tính giá trị của biểu thức với x = 5. Giải . Cách 1 : Thay x = 5 vào E ta được : 6 5 4 3 2 E 5 6.5 6.5 6.5 6.5 6.5 6        6 5 4 3 2 5 (5 1).5 (5 1).5 (5 1).5 (5 1).5 (5 1).5 6            

6 6 5 5 4 4 3 3 2 2 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 6 1            

Cách 2 : Do x = 5 nên 6 = x + 1

6 5 4 3 2 E x (x 1)x (x 1)x (x 1)x (x 1)x (x 1)x x 1             

6 6 5 5 4 4 3 3 2 2 x x x x x x x x x x x x 1 1              

Dạng 2) Tính giá trị của biểu thức biết điều kiện đã cho Phương pháp :

- Biến đổi biểu thức để sử dụng điều kiện hoặc xuất hiện điều kiện. - Biến đổi cả biểu thức và điều kiện.

Ví dụ : Cho biểu thức 4 2011 1 2 6033 D 3 . 2015 2013 2015 2013 2013.2015          

Đặt và 1 a 2015  2011 b 2013 

a) Rút gọn D theo a và b b) Tính giá trị của 1

D

Giải : Nhận xét ; 2 2011 1 2013 2013  6033 1 2011 3. . 2013.2015 2015 2013 

Do đó :     D 4a 3 b a 1 b 3ab 12a 4ab a ab 3ab 13a           

b) 1 2015 155 D 13  

Dạng 3) Chứng minh giá trị của biểu thức không phụ thuộc vào giá trị của biến. Phương pháp : Áp dụng các quy tắc nhân, chia, cộng, trừ đa thức để biến đổi, kết quả của biểu thức là hằng số. * BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài tập 1 : Cho ; ; 2 A x x 3    2 B 2x 3x 5    2 C 4x 4x 15    a) Tính D = AB – C b) Tính giá trị của D biết x 2 1  

ThuVienDeThi.com

2

Bài tập 2. Cho a + b + c = - 6 ; ab + bc + ca = 11 và abc = - 6 .

Hãy tính giá trị của biểu thức với E (x a)(x b)(x c)     x 2 

Bài tập 3. Tính giá trị của các đa thức :

a) tại x = 49 6 5 4 3 2 f (x) x 50x 50x 50x 50x 50x 50       

b) tại x = 79 2 3 4 1968 1969 g(x) 1969 80x 80x 80x 80x ... 80x x        

Bài tập 4. Chứng minh rằng giá trị của các đa thức sau không phụ thuộc vào x :

a) 2 2 h(x) (x 1)(x x 1) (x 1)(x x 1)        

b) 2 3 k(x) 2x(4x 1) 8x (x 1) (2x) 2x 3       

Bài tập 5. Tính 1 2 1 2 1974 1946 3 M 1 1 . 1975 1945 1945 1975 1975 1945 1975.1945                   Chuyên đề 2 : PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC DẠNG TOÁN ĐA THỨC

I. Kiến thức cơ bản Phép chia đa thức:

-Cho hai đa thức . Khi đó, tồn tại duy nhất một cặp đa thức ( ) ( ) ( ) , , 0 f x g x x g x é ù Î ¹ ê ú ë û ¡

sao cho , trong đó: ( ) ( ) , q x r x ( ) ( ) ( ) ( ) . f x g x q x r x = +

( ) ( ) £ < 0 baäcr x baäc g x

Nếu , ta được thì ta nói chia hết cho , tức là: ( )= 0 r x ( ) ( ) ( ) . f x g x q x = ( ) f x ( ) g x

sao cho . ( ) ( ) ( ) f x g x q x Û $ M ( ) ( ) ( ) . f x g x q x =

- Định lí Bezout (Bơdu): Dư của phép chia đa thức cho là giá trị . ( ) f x x a - ( ) f a

-Sơ đồ Horner (Hoocne): Cho đa thức ( )

1 1 1 0 ... n n n n f x a x a x a x a - - = + + + +

chia cho dư là , thương có bậc n-1 với ( ) 0 n a ¹ x a - ( ) f a ( ) q x ( )

1 1

n n q x b x - - = +

. Trong đó được tính bằng sơ đồ Hoocne: 2 2 1 0 ... n nb x bx b - - + + + , 0, 1 ib i n = -

an an-1 …. a1 a0 a an=bn-1 abn-1+an-1=bn-2 ….. ab1+a1=b0 ab0+a0=f(a)

II. Các dạng bài tập và phương pháp giải: 1. Xác định đa thức:

1.1. Phương pháp: -Dùng định lí Bezout. -Dùng phương pháp hệ số bất định: ta xác định sự biểu diễn hai đa thức bằng nhau bằng cách giải hệ phương trình sơ cấp.

1.2. Ví dụ: Ví dụ 1: Tìm đa thức , biết rằng chia cho và đều có dư là 2 và ( ) f x ( ) f x 1 x - 3 x -

chia cho được thương là và còn dư. ( ) f x 2 4 3 x x - + 1 x +

Giải: Ta có: chia dư là …