Chứng minh định lý đường trung bình trong tam giác bằng kiến thức Toán lớp 7

1

Chứng minh định lý đường trung bình trong tam giác

bằng kiến thức Toán lớp 7 Bài toán: Cho tam giác ABC. M trung điểm AB, N trung điểm AC. Chứng minh MN // BC

và . BC MN 2 1 

Giải:

P N M

A

B C

Kéo dài tia MN một đoạn NP = MN. Tam giác AMN = Tam giác CPN (c.g.c) ( đối đỉnh) P N C M N A

 

 Suy ra (góc tương ứng) ở vị trí so le trong nên AB//PC và ta cũng có: N P C N M A

 

 AM = CP = BM. Suy ra tam giác BMC = tam giác PCM (c.g.c) ( so le trong và MC cạnh chung). M C P C M B

 

 Suy ra (góc tương ứng) ở vị trí so le trong nên MP//BC và lúc đó BC = MP = M C B C M P

   2MN.

Vậy MN // BC và . BC MN 2 1 

Hệ quả: Trong một tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền thì bằng nửa cạnh huyền. Chứng minh: Giả sử tam giác ABC vuông tại A. D là trung điểm BC. AD trung tuyến ứng với cạnh huyền

BC. Ta phải chứng minh . BC AD 2 1 

Chọn E là trung điểm của AB. Ta có ED là đường trung bình trong tam giác ABC nên ED//AC (theo chứng minh trên). Vì nên . Xét hai tam giác vuông EBD và AB AC  AB ED  EAD ta có EB = EA, ED chung nên hai tam giác vuông này bằng nhau (2 cạnh góc vuông).

Suy ra BD = AD (2 cạnh tương ứng). Suy ra . BC AD 2 1 

ThuVienDeThi.com

2

E D

B

A C

Áp dụng: Trích từ:

BỘ ĐỀ ÔN TẬP KIỂM TRA HỌC KÌ 1 MÔN TOÁN LỚP 7 *Thời gian: 90 phút* ĐỀ 2: Bài 5: (3,5 điểm) Cho góc nhọn xAy, trên tia Ay lấy điểm B, trên tia Ax lấy điểm C sao cho AB = AC. Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng BC và E là trung điểm của đoạn thẳng AC, trên tia đối của tia EM lấy điểm H sao cho EH = EM. a) Chứng minh ΔABM = ΔACM b) Chứng minh BC AM  c) Chứng minh ΔAEH = ΔCEM d) Gọi D là trung điểm của đoạn thẳng AB. Từ B vẽ đường thẳng song song với đường thẳng AM, đường thẳng này cắt tia MD tại K. Chứng minh ba điểm H, A, K thẳng hàng. Giải: a) (c.g.c) (1) ACM ABM    b) (1) => => (2) 0 0 90 2 : 180 ˆ ˆ    C M A B M A BC AM  c) (c.g.c) (3). CEM AEH    d) (3) => ở vị trí so le trong nên => AH//BC (4) 1 1 ˆ ˆ M H  Trong tam giác vuông AMB, MD trung tuyến ứng với cạnh huyền AB nên

(5) 2 1 ˆ ˆ 2 1 M A DB AD AB MD     

Từ BK//AM (gt) và (5) => => DK = DB => (c.g.c) => 1 2 1 1 ˆ ˆ ˆ ˆ K M B A    BDM ADK   

ở vị trí so le trong nên => AK//BC (6). 2 2 ˆ ˆ B A  Từ (4) và (6), theo tiên đề Ơclit ta có đường thẳng AH trùng với đường thẳng AK => H, A, K thẳng hàng.

ThuVienDeThi.com

3

(Nếu không dùng 2 định lý và hệ quả trên thì cũng có thể giải được bài này nhưng hơi dài!: Phải xét 4 cặp tam giác bằng nhau là:

; ; và ) ) (cgc CMA HAM    ) (cgc BMA HAM    ) (cgc MDB CEM    ) (cgc BDM ADK   

ThuVienDeThi.com