Phân dạng và bài tập phương pháp tọa độ trong mặt phẳng

1

CHUYÊN ĐỀ: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG

Bài 1: VECTƠ TRONG MẶT PHẲNG TỌA ĐỘ

A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT :

1. Định nghĩa: Hệ trục tọa độ gồm hai trục vuông góc Ox và Oy với hai vectơ đơn vị lần

lượt là

 ,i j . Điểm O gọi là gốc tọa độ, Ox gọi

là trục hoành và Oy gọi là trục tung.

Kí hiệu Oxy hay ( )  ; , O i j

2. Tọa độ điểm, tọa độ vec tơ .

+ Trong hệ trục tọa độ ( )  ; , O i j nếu = +    u xi yj thì cặp số ( ) ; x y được gọi là tọa độ của vectơ  u , kí hiệu là ( ) =  ; u x y hay ( )  ; u x y .

x được gọi là hoành độ, y được gọi là tung độ của vectơ

 u

+ Trong hệ trục tọa độ ( )  ; , O i j , tọa độ của vectơ

 OM gọi là tọa độ của điểm M, kí hiệu là

( ) = ; M x y hay ( ) ; M x y . x được gọi là hoành độ, y được gọi là tung độ của điểm M.

Nhận xét: (hình 1.31) Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của M lên Ox và Oy thì

( ) ⇔ = + = +      ; M x y OM xi yj OH OK

Như vậy = =    , OH xi OK yj hay = = , x OH y OK

3. Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng. Tọa độ trọng tâm tam giác.

+ Cho ( ; ), ( ; ) A A B B A x y B x y và M là trung điểm AB. Tọa độ trung điểm ( ) ; M M M x y của đoạn

thẳng AB là + + = = , 2 2

A B A B M M x x y y x y

+ Cho tam giác ABC có ( ) ( ; ), ( ; ), ; A A B B C C A x y B x y C x y . Tọa độ trọng tâm ( ) ; G G G x y của

tam giác ABC là + + = 3

A B C G x x x x và + + = 2

A B C G y y y y

4. Biểu thứ tọa độ của các phép toán vectơ.

Cho =  ( ; ) u x y ; =  ' ( '; ') u x y và số thực k. Khi đó ta có :

x

y

H O

M K

Hình 1.31

2

1) =  = ⇔ = 

  ' ' ' x x u u y y

2) ± = ± ±   ( '; ') u v x x y y

3) =  . ( ; ) k u kx ky

4)

 ' u cùng phương

 u ( ≠   0 u ) khi và chỉ khi có số k sao cho =  = 

' ' x kx y ky

5) Độ dài vectơ = +  2 2 u x y

6) Cho ( ; ), ( ; ) A A B B A x y B x y thì ( ) = − −  ; B A B A AB x x y y

= = − + −  2 2 ( ) ( ) B A B A AB AB x x y y

B. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI.

1. Dạng 1: Tìm tọa độ của vectơ; các phép toán trên vectơ trên hệ trục tọa độ( ) O;i 

Phương pháp giải.

 Phương pháp.

-Dùng định nghĩa vectơ = +    u xi yj thì ( ) =  ; u x y hay ( )  ; u x y .

- Dùng công thức tính tọa độ của vectơu v, u v, k u + −    

Với u ( x; y ) = 

;u' ( x'; y') = 

và số thực k , khi đó u v ( x x'; y y') ± = ± ±  

và k.u ( kx;ky ) = 

A. VÍ DỤ MINH HỌA

I- BÀI TẬP TỰ LUẬN:

Ví dụ 1: Trong mặt phẳng Oxy , cho 3 vecto: ( ) ( ) ( ) = = − = − −    3; 2 1;5 2; 5 a b c

Tìm tọa độ của vectơ sau

a) +   a b b) −   b c c) = +    2 k a b d) = −+ +     2 5 l a b c

Lời giải:

a) Ta có + = + − + ⇒ + =     (3 ( 1);2 5) (2;7). a b a b

b) − = −−− −− =   ( 1 ( 2);5 ( 5)) (1;10) b c

c) Ta có = = −   2 (6;4) ( 1;5) a b suy ra ( ) ( ) = − + =  6 1;4 5 5;9 k ;

d) Ta có:

3

− = − − = −   ( 3; 2), 2 ( 2;10) a b và = − −  5 ( 10; 25) c suy ra

( ) ( ) = −− − −+ − = − −  3 2 10; 2 10 25 15; 17 l

Ví dụ 2: Trong hệ trục tọa độ ( ) ; ; O i j 

cho hai véc tơ 2 4 a i j = −   

; 5 3 b i j = − +   

. Tìm tọa độ của

vectơ 2 u a b = −   

Lời giải

Ta có ( ) 2; 4 a = − 

và ( ) 5; 3 b = − 

( ) 2 9; 11 u a b ⇒ = − = −   

.

Ví dụ 3: Cho = = − = −    (1;2), ( 3;4) ; ( 1;3) a b c . Tìm tọa độ của vectơ

 u biết

a) − + =     2 3 0 u a b

b) + + =     3 2 3 3 u a b c

Lời giải:

a) Ta có − + = ⇔ = −        3 1 2 3 0 2 2 u a b u a b

Suy ra ( )   = + − =    

 3 3;3 2 3;1 2 2 u

b) Ta có + + = ⇔ = − − +         2 3 2 3 3 3 u a b c u a b c

Suy ra     = − + − − − + = −        

 2 4 4 7 3 1; 4 3 ; 3 3 3 3 u

Ví dụ 4: Cho ( ) 1;2 a =  và ( ) 3;4 b = 

.

Tìm độ dài của các vectơ ,a b   và 2 3 a b +  

Lời giải

Ta có 2 2 2 2 1 2 5; 3 4 5 a b = + = = + =  

Ta có ( )

2 2 2 3 11; 16 2 3 11 16 377 a b a b + = ⇔ + = + =     .

2. Dạng 2: Bài toán liên quan đến sự cùng phương của hai vectơ. Phân tích một vectơ qua hai vectơ không cùng phương. 1. Phương pháp.

• Cho =  ( ; ) u x y ; =  ' …