Bài tập biểu thức tổ hợp và nhị thức Newton - Phạm Minh Tuấn

Sưu tầm và biên soạn: Phạm Minh Tuấn

Có tài mà không có đức thì vô dụng

BIỂU THỨC TỔ HỢP – NHỊ THỨC NEWTON

Bài 1: (ĐHSP TPHCM 1999)

Có bao nhiêu số tự nhiên thỏa mãn     k k 2 k 1 14 14 14 C C 2C A. 0 C. 2 B. 1 D. 3 Bài giải

    k k 2 k 1 14 14 14 C C 2C (0 ≤ k ≤ 12, k  N)

        14! 14! 14! 2 k!(14 k)! (k 2)!(12 k)! (k 1)!(13 k)!

         1 1 1 2 (14 k)(13 k) (k 1)(k 2) (k 1)(13 k) (k + 1)(k + 2) + (14 – k)(13 – k) = 2(k + 2)(14 – k) k2 – 12k + 32 = 0 k = 4 hoặc k = 8 Vậy: k = 4 hoặc k = 8

Bài 2. (ĐH Ngoại ngữ HN chuyên ban 1999) Có bao nhiêu số nguyên dương x thoả:     1 2 3 2 x x x C 6C 6C 9x 14x A. 0 C. 2 B. 1 D. 3

Bài giải

    1 2 3 2 x x x C 6C 6C 9x 14x (x  N, x ≥ 3) x + 3x2 – 3x + x3 – 3x2 + 2x = 9x2 – 14x

x(x2 – 9x + 14) = 0 

       

x 0 (loaïi)

x 2 (loaïi) x 7 (nhaän)

Vậy: x = 7

Bài 3. (ĐH Bách khoa HN 1999)

Tính tổng: 1 2 3 4 2018 2018 2018 2018 2018 2018 2 3 4 ... 2018. S C C C C C      

Sưu tầm và biên soạn: Phạm Minh Tuấn

Có tài mà không có đức thì vô dụng

A. 0 C. 2 B. 1 D. 3

Bài giải S =       1 2 3 4 n 1 n n n n n n C 2C 3C 4C ... ( 1) .nC (n > 2) Xét đa thức p(x) = (1 – x)n. Khai triển theo công thức Newton ta được:

p(x) = (1 – x)n =

  

n k k k n k 0 ( 1) C .x

Suy ra: – p(x) = n(1 – x)n–1 =  

  

n k 1 k k 1 n k 1 ( 1) .kC .x

Cho x = 1 ta được: 0 = 

  

n k 1 k n k 1 ( 1) .kC

=       1 2 3 4 n 1 n n n n n n C 2C 3C 4C ... ( 1) .nC = S Vậy: S = 0 Bài 4. (ĐHQG HN khối B 2000)

Tìm số hạng không chứa x trong khai triển của biểu thức sau:

        

17 4 3 3 2 1 x x

, x ≠ 0

A. 24310 C. 23049 B. 12339 D. 29103

Bài giải Số hạng tổng quát của khai triển là:

     

   

17 34 17 k k k 2 3 3 12 3 k k 3 4 4 17 17 C x x C x (k  N, 0 ≤ k ≤ 17)

Để số hạng không chứa x thì   17 34 k 0 12 3 k = 8

Vậy số hạng cần tìm là số hạng thứ 9 của khai triển và bằng

8 17 C .

Sưu tầm và biên soạn: Phạm Minh Tuấn

Có tài mà không có đức thì vô dụng

Bài 5. (ĐH Bách khoa HN khối AD 2000)

Có bao nhiêu số tự nhiên x thỏa:    2 2 3 2x x x 1 6 A A .C 10 2 x A. 0 C. 2 B. 1 D. 3

Bài giải

Điều kiện:

                

x N

2 2x x N

2 x x 3

3 x

Ta có:    2 2 3 2x x x 1 6 A A .C 10 2 x

 1 2 .2x(2x – 1) – x(x – 1) ≤    6 x(x 1)(x 2) . 10 x 1.2.3 x2 ≤ x2 – 3x + 12  x ≤ 4 Kết hợp điều kiện, ta được: x = 3, x = 4. Bài 6. (ĐHSP HN khối A 2000)

Trong khai triển nhị thức

         

n 28 3 15 x x x , hãy tìm số hạng không

phụ thuộc vào x, biết rằng      n n 1 n 2 n n n C C C 79 A. 812 C. 293 B. 792 D. 392

Bài giải

* Xác định n:      n n 1 n 2 n n n C C C 79  1 + n +  n(n 1) 2 = 79

     

n 12

n 13 (loaïi)

* Ta có:

  



                      

12 k 12 k 28 4 28 12 k 3 15 3 15 12 k 0 x x x C x x =





48 112 12 k k 15 5 12 k 0 C x

Sưu tầm và biên soạn: Phạm Minh Tuấn

Có tài mà không có đức thì vô dụng

Số hạng không phụ thuộc x    48 112 k 0 15 5  k = 7.

Vậy số hạng cần tìm là: 7 12 C = 792

Bài 7. (ĐHSP HN khối BD 2000)

Biết tổng tất cả các hệ số của khai triển nhị thức (x2 + 1)n bằng

1024, hãy tìm hệ số a (a là số tự nhiên) của số hạng ax12 trong khai triển đó. A. 120 C. 210 B. 211 D. 312

Bài giải

Ta có: (x2 + 1)n =



n k 2k n k 0 C x (1)

Số k ứng với số hạng ax12 thoả mãn pt: x12 = x2k  k = 6.

Trong (1) cho x = 1 thì



n k n k 0 C = 2n

Từ giả thiết 



n k n k 0 C = 1024  2n = 1024  n = 10

Vậy hệ sốcần tìm là: 6 10 C = 210. Bài 8. (ĐHSP TPHCM khối DE 2000)

Tính tổng: 0 1 2 2018 2018 2018 2018 2018 1 1 1 ... 2 3 2019 S C C C C     

A.

2020 2 1 2020  C.

2019 2 1 2019 

B.

2020 2 1 2020  D.

2019 2 1 2019 

Bài giải

* Ta có: I =          

1 1 n 1 n 1 n

0 0

(1 x) 2 1 (1 x) dx n 1 n 1