Ví dụ và bài tập phương trình, bất phương trình và hệ phương trình - Trần Văn Toàn

Mục lục

Chủđề1. Phương trình quy vềbậc hai 2

1.1 Một sốphương trình quy vềphương trình bậc hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2 Phương trình có chứa dấu giá trịtuyệt đối . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

Chủđề2. Phương trình chứa căn 35

2.1 Phương trình cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.2 Sửdụng lượng liên hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

2.3 Phương pháp đặt ẩn phụ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

2.4 Phương trình đẳng cấp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

2.5 Phương pháp đánh giá . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

2.6 Sửdụng tính đơn điệu của hàm số. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

2.7 Sửdụng hàm hợp và hàm ngược . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

2.8 Phương pháp hình học . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

2.9 Phương pháp lượng giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

Chủđề3. Bất phương trình 130

3.1 Giải bất phương trình nhờtính liên tục của hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . 130

Chủđề4. Hệphương trình 137

4.1 Biến đổi hệphương trình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

4.2 Sửdụng phương pháp thế. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

4.3 Phương pháp đặt ẩn phụ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

4.4 Hệphương trình đối xứng loại một . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

4.5 Hệphương trình phản xứng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

4.6 Hệphương trình đối xứng loại hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164

Tài liệu tham khảo 168

1

Chủđề1

Phương trình quy vềbậc hai

1.1 Một sốphương trình quy vềphương trình bậc hai

Bài tập 1.1. Giải các phương trình sau:

1) 1 (x+2)2 + 1 (x−4)2 = 2

9; Đáp số. © 1;1−3 p

3;1+3 p

3 ª.

Hướng dẫn. Đặt t = (x+2)+(x−4)

2 = x−1.

2) 1 (2x−3)2 + 4 (4x−7)2 = 5; Đáp số. ½ 2; 5

4

¾ .

Hướng dẫn. Viết phương trình đã cho dưới dạng

1

4 ³ x−3

2

´2 + 1

4 ³ x−7

4

´2 = 5.

Đặt

t =

³ x−3

2

´ + ³ x−7

4

´

2 = x−13

8 .

Với phương trình dạng (x+ a)4 +(x+ b)4 = c, ta đặt

t = (x+ a)+(x+ b)

2 = x+ a+ b

2 .

Chú ý

1) (a+ b)4 = a4 +4a3b +6a2b2 +4ab3 + b4;

2) (a−b)4 = a4 −4a3b +6a2b2 −4ab3 + b4.

Bài tập 1.2. Giải các phương trình sau:

1) (x−6)4 +(x−8)4 = 16; Đáp số. {6;8}.

2

1.1. Một sốphương trình quy vềphương trình bậc hai 3

2) (x−2)4 +(x−4)4 = 16; Đáp số. x = 2∨x = 4.

3) (x−1)4 +(x−3)4 = 16. Đáp số. x = 1∨x = 3.

Phương trình có dạng

(x+ a)ã(x+ b)ã(x+ c)ã(x+ d) = A,

với a < b < c < d và a+ d = b + c. Ta đặt

t = (x+ a)+(x+ b)+(x+ c)+(x+ d)

4 = x+ a+ b + c + d

4 .

Bài tập 1.3. Giải các phương trình sau:

1) xã(x+1)ã(x−1)ã(x+2) = 24 Đáp số. {−3;2}.

2) (x−4)ã(x−5)ã(x−6)ã(x−7) = 1680; Đáp số. {−1;12}.

3) (12x−1)ã(6x−1)ã(4x−1)ã(3x−1) = 5; Đáp số. ½ −1

12; 1

2

¾ .

Hướng dẫn. Viết phương trình đã cho dưới dạng

³ x−1

12

´ · ³ x−1

6

´ · ³ x−1

4

´ · ³ x−1

3

´ = 5 3ã4ã6ã12.

Phương trình có dạng

(ax2 + b1x+ c)(ax2 + b2x+ c) = dx2, c ̸= 0.

• Nhận xét x = 0 không là nghiệm của phương trình.

• Chia phương trình cho x2, ta được

³ ax+ b1 + c

x

´ · ³ ax+ b2 + c

x

´ = d.

Đặt t = ax+ c

x.

Chú ý. Ta cũng có thểđặt

t = ax2 + b1 + b2

2 x+ c.

Bài tập 1.4. 1 Giải các phương trình sau:

1) (x−2)(x−3)(x−6)(x−9) = 45x2

4 . Đáp số. x = 3

2 ∨x = 12.

1Trần Văn Toàn