Giải Bài 10.16 trang 108 SGK Toán 9

Lời giải

Phân tích. Mặt xung quanh của thùng hình trụ được gò từ tấm tôn hình chữ nhật, trong đó:
- Chiều cao của thùng chính là một cạnh của tấm tôn, ở đây $h = 50$ cm.
- Cạnh còn lại của tấm tôn chính là chu vi đường tròn đáy ($C = 2\pi r$).

Thể tích hình trụ: $V = \pi r^2 h$.

Cách 1. Gò nguyên tấm $50\text{ cm}\times 240\text{ cm}$ thành một thùng có chiều cao $h = 50$ cm và chu vi đáy $240$ cm.

Gọi $r_1$ là bán kính đáy, ta có:
$$2\pi r_1 = 240 \;\Rightarrow\; r_1 = \dfrac{240}{2\pi} = \dfrac{120}{\pi}\ (\text{cm}).$$

Thể tích thùng theo Cách 1:
$$V_1 = \pi r_1^2 h = \pi\left(\dfrac{120}{\pi}\right)^2\cdot 50 = \pi\cdot\dfrac{14400}{\pi^2}\cdot 50 = \dfrac{720000}{\pi}\ (\text{cm}^3).$$

Cách 2. Cắt tấm tôn thành hai tấm hình chữ nhật bằng nhau, mỗi tấm có kích thước $50\text{ cm}\times 120\text{ cm}$. Mỗi tấm gò thành một thùng có chiều cao $h = 50$ cm và chu vi đáy $120$ cm.

Gọi $r_2$ là bán kính đáy của mỗi thùng nhỏ, ta có:
$$2\pi r_2 = 120 \;\Rightarrow\; r_2 = \dfrac{120}{2\pi} = \dfrac{60}{\pi}\ (\text{cm}).$$

Thể tích mỗi thùng nhỏ:
$$\pi r_2^2 h = \pi\left(\dfrac{60}{\pi}\right)^2\cdot 50 = \pi\cdot\dfrac{3600}{\pi^2}\cdot 50 = \dfrac{180000}{\pi}\ (\text{cm}^3).$$

Tổng thể tích hai thùng theo Cách 2:
$$V_2 = 2\cdot\dfrac{180000}{\pi} = \dfrac{360000}{\pi}\ (\text{cm}^3).$$

Tính tỉ số.
$$\dfrac{V_1}{V_2} = \dfrac{\dfrac{720000}{\pi}}{\dfrac{360000}{\pi}} = \dfrac{720000}{360000} = 2.$$

Kiểm tra lại: Khi chu vi đáy giảm một nửa thì bán kính giảm một nửa, nên diện tích đáy (tỉ lệ với $r^2$) giảm 4 lần; mỗi thùng nhỏ có thể tích bằng $\tfrac14$ thùng lớn, hai thùng nhỏ có tổng thể tích bằng $\tfrac12$ thùng lớn. Vậy $\dfrac{V_1}{V_2} = 2$ (hợp lý).

Đáp số