Giải Bài 5.23 trang 104 SGK Toán 9

Lời giải

Nhận xét (dùng chung). Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, hai đoạn tiếp tuyến kẻ từ một điểm đến đường tròn thì bằng nhau:
- Từ $S$: $SA = SB$ (vì $SA$, $SB$ là hai tiếp tuyến của $(O)$).
- Từ $E$: $E$ là giao của hai tiếp tuyến $SA$ và $EF$ (tiếp điểm $A$ và $M$), nên $EA = EM$.
- Từ $F$: $F$ là giao của hai tiếp tuyến $SB$ và $EF$ (tiếp điểm $B$ và $M$), nên $FB = FM$.

a) Chứng minh chu vi tam giác $SEF$ bằng $SA + SB$.

Vì $E$ nằm trên đoạn $SA$ và $F$ nằm trên đoạn $SB$ nên:
$$SA = SE + EA, \qquad SB = SF + FB.$$

Chu vi tam giác $SEF$ là:
$$P = SE + EF + FS = SE + (EM + MF) + FS,$$
vì điểm $M$ nằm giữa $E$ và $F$ nên $EF = EM + MF$.

Thay $EM = EA$ và $MF = FB$ (theo nhận xét trên):
$$P = SE + EA + FB + FS = (SE + EA) + (SF + FB) = SA + SB.$$

Vậy chu vi tam giác $SEF$ bằng $SA + SB$ (đpcm).

b) Khi $M$ là giao điểm của đoạn $SO$ với đường tròn $(O)$, chứng minh $SE = SF$.

Vì $SA$, $SB$ là hai tiếp tuyến cắt nhau tại $S$ nên tia $SO$ là tia phân giác của góc $\widehat{ASB}$, tức là $SO$ là tia phân giác của góc $\widehat{ESF}$. Do đó $SM$ là tia phân giác của góc $\widehat{ESF}$ trong tam giác $SEF$ (1).

Mặt khác, $EF$ là tiếp tuyến của $(O)$ tại $M$ nên $EF \perp OM$. Vì $M$ nằm trên đoạn $SO$ nên ba điểm $S$, $M$, $O$ thẳng hàng, suy ra $OM$ nằm trên đường thẳng $SO$. Do đó $EF \perp SM$ tại $M$, nghĩa là $SM$ là đường cao của tam giác $SEF$ hạ từ đỉnh $S$ (2).

Từ (1) và (2): trong tam giác $SEF$, đường thẳng $SM$ vừa là đường phân giác vừa là đường cao xuất phát từ đỉnh $S$. Vậy tam giác $SEF$ cân tại $S$, suy ra:
$$SE = SF \quad (\text{đpcm}).$$

Đáp số