Giải Bài 5.22 trang 104 SGK Toán 9

Lời giải

Phân tích. Đường tròn đang xét là $(M; MA)$, có tâm $M$ và bán kính $R = MA$. Ta sẽ chứng minh cả hai đường thẳng $OA$ (chứa trong $Ox$) và $OB$ (chứa trong $Oy$) đều là tiếp tuyến của đường tròn này, và chúng cắt nhau tại $O$.

a) $OA$ là tiếp tuyến của $(M; MA)$.

Vì $A$ cách tâm $M$ một khoảng bằng $MA = R$ nên điểm $A$ nằm trên đường tròn $(M; MA)$.

Theo giả thiết, đường thẳng qua $A$ và vuông góc với $Ox$ chính là đường thẳng $AM$, nên $AM \perp Ox$ tại $A$, tức là $AM \perp OA$ tại $A$.

Như vậy $OA$ là đường thẳng đi qua điểm $A$ của đường tròn và vuông góc với bán kính $MA$ tại tiếp điểm $A$. Do đó $OA$ là tiếp tuyến của $(M; MA)$ tại $A$.

b) $OB$ là tiếp tuyến của $(M; MA)$.

Gọi $H$ là chân đường vuông góc hạ từ $M$ xuống $Oy$, khi đó $MH$ là khoảng cách từ $M$ đến $Oy$, còn $MA$ là khoảng cách từ $M$ đến $Ox$.

Vì $M$ nằm trên tia phân giác $Ot$ của góc $xOy$ nên $M$ cách đều hai cạnh của góc:
$$MH = MA = R.$$

Suy ra điểm $H$ cách tâm $M$ đúng bằng bán kính $R$, nên $H$ nằm trên đường tròn $(M; MA)$. Lại có $MH \perp Oy$ tại $H$, nên $Oy$ là tiếp tuyến của $(M; MA)$ tại $H$.

Ta chứng minh $H$ trùng với $B$. Xét hai tam giác vuông $OAM$ (vuông tại $A$) và $OHM$ (vuông tại $H$) có:
- $OM$ là cạnh chung (cạnh huyền);
- $\widehat{AOM} = \widehat{HOM}$ (vì $Ot$ là tia phân giác của góc $xOy$).

Do đó $\triangle OAM = \triangle OHM$ (cạnh huyền – góc nhọn), suy ra $OA = OH$.

Mà theo giả thiết $OA = OB$, nên $OH = OB$. Hai điểm $H$ và $B$ cùng nằm trên tia $Oy$ và cách $O$ một khoảng bằng nhau, vậy $H \equiv B$.

Khi đó $B$ nằm trên đường tròn $(M; MA)$ và $MB \perp Oy$ tại $B$, nên $OB$ là tiếp tuyến của $(M; MA)$ tại $B$.

c) Kết luận. $OA$ và $OB$ đều là tiếp tuyến của đường tròn $(M; MA)$, và chúng cùng đi qua điểm $O$ nên cắt nhau tại $O$. Vậy $OA$ và $OB$ là hai tiếp tuyến cắt nhau của đường tròn $(M; MA)$ (đpcm).

*Nhận xét.* Từ chứng minh trên còn suy ra $MA = MB$, tức $B$ cũng nằm trên $(M; MA)$ và hai tiếp tuyến $OA$, $OB$ bằng nhau — đúng tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau.

Đáp số