Giải Thử thách nhỏ trang 104 SGK Toán 9

Lời giải

Phân tích.

Giả sử đã dựng được đường tròn tâm $O$ tiếp xúc với cả hai cạnh $Mx$, $My$ của góc, trong đó $A$ là tiếp điểm trên cạnh $Mx$.

- Vì $O$ cách đều hai cạnh của góc $xMy$ (khoảng cách đến mỗi cạnh đều bằng bán kính $R$) nên $O$ nằm trên tia phân giác của góc $xMy$.
- Vì đường tròn tiếp xúc với $Mx$ tại $A$ nên bán kính $OA \perp Mx$ tại $A$, tức $O$ nằm trên đường thẳng vuông góc với $Mx$ tại $A$.

Vậy $O$ là giao điểm của tia phân giác góc $xMy$ với đường vuông góc dựng từ $A$ trên $Mx$.

Cách dựng.

1) Dựng tia phân giác $Mt$ của góc $xMy$.

2) Qua $A$ dựng đường thẳng $d$ vuông góc với $Mx$; đường thẳng $d$ cắt tia phân giác $Mt$ tại $O$.

3) Dựng đường tròn $(O;\,OA)$.

Đó là đường tròn cần dựng.

Chứng minh.

Gọi $H$ là chân đường vuông góc hạ từ $O$ xuống cạnh $My$, đặt $R = OA$.

- Theo cách dựng, $OA \perp Mx$ tại $A$, mà $A \in (O;R)$ nên $Mx$ là tiếp tuyến của đường tròn và $A$ là tiếp điểm.
- Vì $O$ thuộc tia phân giác của góc $xMy$ nên $O$ cách đều hai cạnh của góc, suy ra khoảng cách từ $O$ đến $My$ bằng khoảng cách từ $O$ đến $Mx$: $OH = OA = R$.
- Do $OH = R$ và $OH \perp My$ tại $H$ nên $My$ cũng là tiếp tuyến của đường tròn $(O;R)$, với tiếp điểm là $H$.

Vậy đường tròn $(O;OA)$ tiếp xúc với cả hai cạnh của góc $xMy$ và nhận $A$ làm một trong hai tiếp điểm (đpcm).

Biện luận. Góc $xMy$ khác góc bẹt nên tia phân giác và đường vuông góc với $Mx$ tại $A$ luôn cắt nhau tại đúng một điểm $O$; bài toán có duy nhất một nghiệm hình.

Đáp số