Giải Hoạt động 3 trang 102 SGK Toán 9

Lời giải

Phân tích. Gọi $(I)$ là đường tròn đường kính $MO$ (tâm $I$ là trung điểm của $MO$). Theo giả thiết, $(I)$ cắt $(O)$ tại hai điểm $A$ và $B$. Ta sẽ chứng minh $MA$ và $MB$ là hai tiếp tuyến của $(O)$.

a) Chứng minh $MA$ là tiếp tuyến của $(O)$.

Vì $A$ nằm trên đường tròn đường kính $MO$ nên $A$ nhìn đoạn $MO$ dưới một góc vuông (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn). Do đó
$$\widehat{MAO} = 90^\circ,$$
nghĩa là $MA \perp OA$ tại $A$.

Mặt khác, $A$ là giao điểm của $(I)$ với $(O)$ nên $A \in (O)$, tức $OA$ là một bán kính của $(O)$.

Vậy đường thẳng $MA$ đi qua điểm $A$ thuộc $(O)$ và vuông góc với bán kính $OA$ tại điểm đó. Theo dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến, $MA$ là tiếp tuyến của đường tròn $(O)$ (tiếp điểm $A$). (đpcm)

b) Chứng minh $MB$ là tiếp tuyến của $(O)$.

Tương tự, vì $B$ nằm trên đường tròn đường kính $MO$ nên
$$\widehat{MBO} = 90^\circ,$$
suy ra $MB \perp OB$ tại $B$.

Đồng thời $B \in (O)$ nên $OB$ là một bán kính của $(O)$.

Vậy $MB$ đi qua điểm $B$ thuộc $(O)$ và vuông góc với bán kính $OB$ tại $B$, nên $MB$ là tiếp tuyến của đường tròn $(O)$ (tiếp điểm $B$). (đpcm)

Kết luận. Hai đường thẳng $MA$ và $MB$ đều là tiếp tuyến của $(O)$; chúng cắt nhau tại $M$ nên được gọi là hai tiếp tuyến cắt nhau của đường tròn $(O)$.

Đáp số