Giải Vận dụng trang 102 SGK Toán 9

Lời giải

Thiết lập theo tình huống mở đầu.

Gọi viền ngoài đồng xu là đường tròn $(O;R)$ (tâm $O$, bán kính $R$), nên đường kính đồng xu là $2R$.

Theo tình huống mở đầu, các đường thẳng trên mặt bàn song song với nhau và khoảng cách giữa hai đường thẳng kề nhau luôn lớn hơn đường kính đồng xu. Xét một dải bất kì giới hạn bởi hai đường thẳng kề nhau $\Delta_1 \parallel \Delta_2$, gọi khoảng cách giữa chúng là $m$. Khi đó:
$$m > 2R.$$

Tâm $O$ của đồng xu rơi vào trong dải này. Gọi khoảng cách từ $O$ đến $\Delta_1$ là $d_1$ và đến $\Delta_2$ là $d_2$. Vì $O$ nằm giữa hai đường thẳng (dù $O$ cách đều hay không cách đều hai đường thẳng đó) nên:
$$d_1 + d_2 = m, \qquad d_1 \ge 0,\; d_2 \ge 0.$$

Dấu hiệu nhận biết (kiến thức Bài 16). Đồng xu *đè lên* một đường thẳng khi đường tròn $(O;R)$ cắt đường thẳng ấy, tức là khi khoảng cách từ tâm $O$ đến đường thẳng đó nhỏ hơn bán kính $R$. Vậy:

* Đồng xu đè lên $\Delta_1 \iff d_1 < R$;
* Đồng xu đè lên $\Delta_2 \iff d_2 < R$.

a) Trường hợp đồng xu đè lên đúng một đường thẳng — có thể xảy ra.

Nếu đặt $O$ gần $\Delta_1$ sao cho $d_1 < R$ thì:
$$d_2 = m - d_1 > 2R - R = R \;\Rightarrow\; d_2 > R.$$
Khi đó $(O;R)$ cắt $\Delta_1$ nhưng không cắt $\Delta_2$, tức đồng xu chỉ đè lên một đường thẳng. Trường hợp này xảy ra được.

b) Trường hợp đồng xu không đè lên đường thẳng nào — có thể xảy ra.

Nếu đặt $O$ ở giữa dải, $d_1 = d_2 = \dfrac{m}{2} > \dfrac{2R}{2} = R$, thì cả hai khoảng cách đều lớn hơn $R$, nên đồng xu nằm gọn trong dải, không cắt đường thẳng nào. Trường hợp này cũng xảy ra được.

c) Trường hợp đồng xu đè lên hai đường thẳng — không thể xảy ra.

Giả sử trái lại đồng xu đè lên cả hai đường thẳng kề nhau $\Delta_1$ và $\Delta_2$. Theo dấu hiệu trên thì đồng thời:
$$d_1 < R \quad\text{và}\quad d_2 < R.$$
Cộng lại:
$$m = d_1 + d_2 < R + R = 2R,$$
tức $m < 2R$. Điều này mâu thuẫn với giả thiết $m > 2R$ (khoảng cách hai đường kề nhau lớn hơn đường kính đồng xu).

Còn với các đường thẳng khác (không kề dải chứa $O$), khoảng cách từ $O$ tới chúng còn lớn hơn $m > 2R > R$ nên đồng xu càng không thể đè lên. Vậy đồng xu không thể đè lên hai đường thẳng cùng lúc.

Kết luận. Với mọi vị trí của tâm $O$ trong dải, ta luôn có $d_1 + d_2 = m > 2R$, nên không thể đồng thời $d_1 < R$ và $d_2 < R$. Do đó chỉ xảy ra trường hợp a (đè lên đúng một đường thẳng) hoặc trường hợp b (không đè lên đường thẳng nào), còn trường hợp c (đè lên hai đường thẳng) không thể xảy ra. $\blacksquare$

Đáp số