Giải Bài 9.42 trang 93 SGK Toán 9

Lời giải

Phân tích. Hình vuông và hình lục giác đều cùng nội tiếp một đường tròn, nên trước hết ta tìm bán kính $R$ của đường tròn đó từ hình vuông, rồi suy ra cạnh của lục giác đều.

a) Chu vi hình lục giác đều

Hình vuông nội tiếp đường tròn nên đường chéo của hình vuông chính là đường kính của đường tròn.

Hình vuông có cạnh $3$ cm nên đường chéo bằng
$$d = 3\sqrt{2}\ (\text{cm}).$$
Do đó bán kính đường tròn là
$$R = \frac{d}{2} = \frac{3\sqrt{2}}{2}\ (\text{cm}).$$

Với hình lục giác đều nội tiếp đường tròn bán kính $R$, cạnh của lục giác đều bằng bán kính đường tròn:
$$a = R = \frac{3\sqrt{2}}{2}\ (\text{cm}).$$

Vậy chu vi hình lục giác đều là
$$C = 6a = 6\cdot\frac{3\sqrt{2}}{2} = 9\sqrt{2} \approx 12{,}73\ (\text{cm}).$$

b) Diện tích hình lục giác đều

Hình lục giác đều được chia thành $6$ tam giác đều bằng nhau, mỗi tam giác có cạnh bằng $a$. Diện tích một tam giác đều cạnh $a$ là $\dfrac{\sqrt{3}}{4}a^2$, nên
$$S = 6\cdot\frac{\sqrt{3}}{4}a^2 = \frac{3\sqrt{3}}{2}a^2.$$

Ta có $a^2 = \left(\dfrac{3\sqrt{2}}{2}\right)^2 = \dfrac{9\cdot 2}{4} = \dfrac{9}{2}$. Do đó
$$S = \frac{3\sqrt{3}}{2}\cdot\frac{9}{2} = \frac{27\sqrt{3}}{4} \approx 11{,}69\ (\text{cm}^2).$$

Kiểm tra lại: $R=\dfrac{3\sqrt2}{2}\approx2{,}12$ cm; $C=9\sqrt2\approx12{,}73$ cm; $S=\dfrac{27\sqrt3}{4}\approx11{,}69$ cm$^2$ — các kết quả phù hợp.

Đáp số