Giải Bài 9.41 trang 93 SGK Toán 9

Lời giải

Nhận xét chung. Vì $(O)$ là đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ nên $O$ là tâm, và $AB$, $BC$, $CA$ là ba dây cung của $(O)$.

Áp dụng tính chất: *trong một đường tròn, đường thẳng đi qua tâm và trung điểm của một dây (không đi qua tâm) thì vuông góc với dây ấy.* Do $P$, $M$, $N$ lần lượt là trung điểm các dây $AB$, $BC$, $CA$ nên:

$$OP \perp AB,\qquad OM \perp BC,\qquad ON \perp CA.$$

Từ đó suy ra các góc vuông:

$$\angle OPA = \angle OPB = 90^\circ,\quad \angle OMB = \angle OMC = 90^\circ,\quad \angle ONA = \angle ONC = 90^\circ.$$

a) Tứ giác $ANOP$ nội tiếp.

Xét tứ giác $ANOP$ (các đỉnh theo thứ tự $A$, $N$, $O$, $P$). Hai đỉnh đối nhau là $N$ và $P$. Theo trên:

$$\angle ANO = 90^\circ \quad (\text{do } ON \perp CA),\qquad \angle APO = 90^\circ \quad (\text{do } OP \perp AB).$$

Suy ra tổng hai góc đối của tứ giác:

$$\angle ANO + \angle APO = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ.$$

Tứ giác có tổng hai góc đối bằng $180^\circ$ nên $ANOP$ là tứ giác nội tiếp (bốn điểm $A$, $N$, $O$, $P$ cùng nằm trên đường tròn đường kính $AO$).

b) Tứ giác $BPOM$ nội tiếp.

Xét tứ giác $BPOM$ (các đỉnh theo thứ tự $B$, $P$, $O$, $M$). Hai đỉnh đối nhau là $P$ và $M$. Theo trên:

$$\angle BPO = 90^\circ \quad (\text{do } OP \perp AB),\qquad \angle BMO = 90^\circ \quad (\text{do } OM \perp BC).$$

Suy ra:

$$\angle BPO + \angle BMO = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ.$$

Tứ giác có tổng hai góc đối bằng $180^\circ$ nên $BPOM$ là tứ giác nội tiếp (bốn điểm $B$, $P$, $O$, $M$ cùng nằm trên đường tròn đường kính $BO$).

c) Tứ giác $CMON$ nội tiếp.

Xét tứ giác $CMON$ (các đỉnh theo thứ tự $C$, $M$, $O$, $N$). Hai đỉnh đối nhau là $M$ và $N$. Theo trên:

$$\angle CMO = 90^\circ \quad (\text{do } OM \perp BC),\qquad \angle CNO = 90^\circ \quad (\text{do } ON \perp CA).$$

Suy ra:

$$\angle CMO + \angle CNO = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ.$$

Tứ giác có tổng hai góc đối bằng $180^\circ$ nên $CMON$ là tứ giác nội tiếp (bốn điểm $C$, $M$, $O$, $N$ cùng nằm trên đường tròn đường kính $CO$).

Vậy cả ba tứ giác $ANOP$, $BPOM$, $CMON$ đều là tứ giác nội tiếp (đpcm).

Đáp số