Giải Bài 9.36 trang 92 SGK Toán 9

Lời giải

Phân tích. Gọi cạnh của lục giác đều nhỏ là $x$ (cm), với $0 < x < 10$.

Nhớ lại: diện tích một lục giác đều cạnh $a$ bằng tổng diện tích 6 tam giác đều cạnh $a$, nên
$$S = 6\cdot\frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{3\sqrt{3}}{2}a^2.$$

Bước 1. Diện tích lục giác đều lớn (cạnh 10 cm).
$$S_{\text{lớn}} = \frac{3\sqrt{3}}{2}\cdot 10^2 = 150\sqrt{3}\ (\text{cm}^2).$$

Bước 2. Diện tích lục giác đều nhỏ (cạnh $x$).
$$S_{\text{nhỏ}} = \frac{3\sqrt{3}}{2}x^2\ (\text{cm}^2).$$

Bước 3. Diện tích mỗi hình thang cân.
Khay lớn được chia thành lục giác nhỏ và 6 hình thang cân bằng nhau, nên tổng diện tích 6 hình thang bằng $S_{\text{lớn}} - S_{\text{nhỏ}}$. Diện tích mỗi hình thang là:
$$T = \frac{S_{\text{lớn}} - S_{\text{nhỏ}}}{6} = \frac{150\sqrt{3} - \dfrac{3\sqrt{3}}{2}x^2}{6} = 25\sqrt{3} - \frac{\sqrt{3}}{4}x^2.$$

Bước 4. Lập phương trình theo yêu cầu.
Lục giác nhỏ có diện tích bằng hai lần diện tích mỗi hình thang: $S_{\text{nhỏ}} = 2T$.
$$\frac{3\sqrt{3}}{2}x^2 = 2\left(25\sqrt{3} - \frac{\sqrt{3}}{4}x^2\right) = 50\sqrt{3} - \frac{\sqrt{3}}{2}x^2.$$
Chuyển vế:
$$\frac{3\sqrt{3}}{2}x^2 + \frac{\sqrt{3}}{2}x^2 = 50\sqrt{3} \;\Rightarrow\; 2\sqrt{3}\,x^2 = 50\sqrt{3} \;\Rightarrow\; x^2 = 25.$$
Vì $x > 0$ nên $x = 5$ (cm).

Kiểm tra lại. Với $x = 5$: $S_{\text{nhỏ}} = \dfrac{3\sqrt{3}}{2}\cdot 25 = 37{,}5\sqrt{3}$; mỗi hình thang $T = 25\sqrt{3} - \dfrac{\sqrt{3}}{4}\cdot 25 = 18{,}75\sqrt{3}$. Khi đó $2T = 37{,}5\sqrt{3} = S_{\text{nhỏ}}$ (đúng), và $S_{\text{nhỏ}} + 6T = 37{,}5\sqrt{3} + 112{,}5\sqrt{3} = 150\sqrt{3} = S_{\text{lớn}}$ (khớp).

Kết luận. Lục giác đều nhỏ phải có cạnh bằng $5$ cm.

Đáp số