Giải Bài 9.34 trang 92 SGK Toán 9

Lời giải

a) Vẽ đa giác $EAFBGCHD$.

Vì $ABCD$ là hình vuông nội tiếp đường tròn $(O)$ nên bốn đỉnh $A,B,C,D$ chia đường tròn $(O)$ thành bốn cung bằng nhau, mỗi cung có số đo $90^\circ$ (theo thứ tự ngược chiều kim đồng hồ).

Phép quay tâm $O$, góc $45^\circ$ theo chiều thuận (cùng chiều kim đồng hồ) giữ nguyên khoảng cách tới tâm $O$ nên biến đường tròn $(O)$ thành chính nó. Do đó các ảnh $E,F,G,H$ của $A,B,C,D$ cũng nằm trên $(O)$, và mỗi ảnh nằm cách điểm gốc một cung $45^\circ$ về phía thuận chiều kim đồng hồ.

Sắp xếp tám điểm này theo chiều ngược kim đồng hồ ta được đúng thứ tự:
$$E,\;A,\;F,\;B,\;G,\;C,\;H,\;D.$$
Nối liên tiếp tám điểm đó ta được đa giác (tám cạnh) $EAFBGCHD$ nội tiếp đường tròn $(O)$.

b) Đa giác $EAFBGCHD$ có phải là bát giác đều không?

Có, $EAFBGCHD$ là một bát giác đều.

*Giải thích:*

- Vì mỗi cung $AB, BC, CD, DA$ đều bằng $90^\circ$, còn mỗi điểm $E,F,G,H$ nằm cách điểm gốc tương ứng một cung $45^\circ$, nên tám điểm $E,A,F,B,G,C,H,D$ chia đường tròn $(O)$ thành tám cung bằng nhau, mỗi cung có số đo
$$\frac{360^\circ}{8}=45^\circ.$$

- Trong một đường tròn, các cung bằng nhau thì căng các dây bằng nhau. Do đó tám cạnh của đa giác bằng nhau:
$$EA=AF=FB=BG=GC=CH=HD=DE.$$

- Mỗi góc trong của đa giác là góc nội tiếp chắn cung gồm $6$ cung nhỏ, tức cung $6\cdot45^\circ=270^\circ$, nên có số đo
$$\frac{270^\circ}{2}=135^\circ.$$
Vậy tám góc trong của đa giác bằng nhau (cùng bằng $135^\circ$).

Đa giác tám cạnh có tất cả các cạnh bằng nhau và tất cả các góc bằng nhau nên là một bát giác đều (đpcm).

Đáp số