Giải Hoạt động 1 trang 100 SGK Toán 9

Lời giải

Gọi $R = OA$ là bán kính của đường tròn $(O; OA)$. Vì $H$ là chân đường vuông góc hạ từ $O$ xuống đường thẳng $a$ nên $OH$ chính là khoảng cách từ tâm $O$ đến đường thẳng $a$. Ta so sánh khoảng cách $OH$ với bán kính $R = OA$ trong từng trường hợp.

a) Trường hợp $OH < OA$ (tức $OH < R$)

Khoảng cách từ tâm đến đường thẳng nhỏ hơn bán kính, nên đường thẳng $a$ nằm "cắt sâu" vào đường tròn. Khi vẽ đường tròn $(O; OA)$, đường thẳng $a$ nằm hai phía của tâm theo phương $OH$ và cắt đường tròn tại hai điểm phân biệt.

Vậy đường thẳng $a$ và đường tròn $(O; OA)$ có 2 điểm chung.

b) Trường hợp $OH = OA$ (tức $OH = R$)

Khoảng cách từ tâm đến đường thẳng bằng đúng bán kính, và điểm $A$ trùng với $H$. Lúc này điểm $H$ vừa thuộc đường thẳng $a$, vừa thuộc đường tròn (vì $OH = OA = R$). Mọi điểm khác của $a$ đều có khoảng cách tới $O$ lớn hơn $OH = R$ nên nằm ngoài đường tròn. Do đó đường thẳng $a$ chỉ chạm đường tròn tại đúng một điểm $H$.

Vậy đường thẳng $a$ và đường tròn $(O; OA)$ có 1 điểm chung (đó là điểm $H \equiv A$).

c) Trường hợp $OH > OA$ (tức $OH > R$)

Khoảng cách từ tâm đến đường thẳng lớn hơn bán kính, điểm $A$ nằm giữa $O$ và $H$ nên đường thẳng $a$ nằm hẳn ra ngoài đường tròn. Mọi điểm của $a$ đều cách $O$ một khoảng không nhỏ hơn $OH > R$, nên không có điểm nào của $a$ nằm trên đường tròn.

Vậy đường thẳng $a$ và đường tròn $(O; OA)$ không có điểm chung (0 điểm chung).

Nhận xét: Nếu gọi $d = OH$ là khoảng cách từ tâm $O$ đến đường thẳng $a$ và $R$ là bán kính thì:
- $d < R$: đường thẳng và đường tròn có 2 điểm chung;
- $d = R$: có 1 điểm chung;
- $d > R$: không có điểm chung.

Đáp số