Giải Câu hỏi trang 100 SGK Toán 9

Lời giải

Phân tích chung

Đồng xu là hình tròn bán kính $R = 1$ cm, nên đường kính của nó bằng $2R = 2$ cm. Gọi $(O)$ là đường tròn viền của đồng xu, tâm $O$.

Với một đường thẳng bất kì, gọi $h$ là khoảng cách từ tâm $O$ đến đường thẳng đó. Theo vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn:

- $h < R$: đường thẳng cắt đường tròn tại hai điểm $\Rightarrow$ đồng xu che khuất một phần (một đoạn) của đường thẳng, tức là đè lên đường thẳng.
- $h = R$: đường thẳng tiếp xúc đường tròn (chỉ có một điểm chung) $\Rightarrow$ đồng xu chỉ *chạm* vào đường thẳng tại một điểm, không che khuất phần nào.
- $h > R$: đường thẳng không giao với đường tròn $\Rightarrow$ đồng xu không chạm tới đường thẳng.

Các đường thẳng song song cách đều nhau $2$ cm. Tâm $O$ luôn nằm trong dải giữa hai đường thẳng kề nhau. Gọi $d$ là khoảng cách từ $O$ đến đường thẳng gần nhất thì
$$0 \le d \le 1,$$
và đường thẳng kề phía đối diện cách $O$ một khoảng
$$2 - d.$$
Mọi đường thẳng khác còn cách $O$ xa hơn nữa (ít nhất $2 - d \ge 1$).

---

a) Đồng xu đè lên một đường thẳng

Đồng xu đè (che khuất một phần) lên đường thẳng gần nhất khi $d < R = 1$.

Chẳng hạn đặt tâm $O$ nằm ngay trên một đường thẳng, khi đó $d = 0 < 1$: đường thẳng này cắt đường tròn nên bị che khuất một đoạn; đường kề bên cách $O$ một khoảng $2 - 0 = 2 > 1$ nên không bị chạm tới.

Kết luận: Trường hợp a) có thể xảy ra.

---

b) Đồng xu không đè lên đường thẳng nào

Đặt tâm $O$ cách đều hai đường thẳng kề nhau, tức $d = 2 - d$, suy ra $d = 1$.

Khi đó khoảng cách từ $O$ đến hai đường gần nhất đều bằng $1 = R$: cả hai đường chỉ tiếp xúc với đường tròn (mỗi đường chạm đúng một điểm), không đường nào cắt qua phần trong đồng xu. Các đường còn lại ở xa hơn ($\ge 1$) nên cũng không bị cắt.

Vậy ở vị trí này đồng xu không che khuất phần nào của bất kì đường thẳng nào.

Kết luận: Trường hợp

b) có thể xảy ra (ứng với vị trí đặc biệt: tâm đồng xu nằm chính giữa hai đường kề nhau).

---

c) Đồng xu đè lên nhiều hơn một đường thẳng

Muốn đồng xu đè lên đồng thời hai đường thẳng thì hai đường đó phải cùng cắt đường tròn, tức khoảng cách từ $O$ đến mỗi đường đều nhỏ hơn $1$. Hai đường có khả năng nhất là đường gần nhất ($d$) và đường kề đối diện ($2 - d$), nên cần
$$d < 1 \quad\text{và}\quad 2 - d < 1.$$
Từ $2 - d < 1$ suy ra $d > 1$, mâu thuẫn với $d < 1$. Vậy không thể có hai đường cùng cắt đường tròn.

Nói cách khác, tổng khoảng cách từ $O$ đến hai đường kề nhau luôn bằng $d + (2 - d) = 2$, mà nếu cả hai cùng bị cắt thì tổng này phải nhỏ hơn $1 + 1 = 2$ — vô lí. Điều này cũng phù hợp với việc đường kính đồng xu $2R = 2$ cm đúng bằng khoảng cách giữa hai đường kề nhau.

Kết luận: Trường hợp

c) không thể xảy ra.

---

Tóm lại: chỉ các trường hợp a) và b) có thể xảy ra; trường hợp c) không thể xảy ra.

Đáp số