Giải Bài 5.19 trang 99 SGK Toán 9
Đề bài
Cho tam giác đều $ABC$ có $AB = 2\sqrt{3}$ cm. Nửa đường tròn đường kính $BC$ cắt hai cạnh $AB$ và $AC$ lần lượt tại $D$ và $E$ (khác $B$ và $C$) (H.5.24).
a) Chứng tỏ rằng ba cung nhỏ $BD$, $DE$ và $EC$ bằng nhau. Tính số đo mỗi cung ấy.
b) Tính diện tích của hình viên phân (xem Ví dụ 2) giới hạn bởi dây $BD$ và cung nhỏ $BD$.
Mô tả hình bằng lời
Hình 5.24: Tam giác đều $ABC$ đỉnh $A$ ở trên, cạnh đáy $BC$ nằm ngang ($B$ trái, $C$ phải). Nửa đường tròn đường kính $BC$ (phần cung nằm phía trên $BC$, trong tam giác) cắt cạnh $AB$ tại $D$ và cạnh $AC$ tại $E$. $D$ và $E$ nằm đối xứng qua đường cao từ $A$.
Lời giải
a) Chứng tỏ ba cung nhỏ $BD$, $DE$, $EC$ bằng nhau và tính số đo mỗi cung.
Vì tam giác $ABC$ đều nên $BC = AB = 2\sqrt{3}$ cm. Gọi $O$ là trung điểm $BC$ thì $O$ là tâm nửa đường tròn, bán kính $R = \dfrac{BC}{2} = \sqrt{3}$ cm.
Vì $BC$ là đường kính nên các góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc vuông:
$$\widehat{BDC} = 90^\circ \quad\text{và}\quad \widehat{BEC} = 90^\circ.$$
Xét tam giác $BDC$ vuông tại $D$: $\widehat{DBC} = \widehat{ABC} = 60^\circ$ nên
$$\widehat{DCB} = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ.$$
Góc $\widehat{DCB}$ là góc nội tiếp chắn cung nhỏ $BD$, nên số đo cung nhỏ:
$$\text{sđ}\,\overset{\frown}{BD} = 2\cdot\widehat{DCB} = 2\cdot 30^\circ = 60^\circ.$$
Tương tự, xét tam giác $BEC$ vuông tại $E$: $\widehat{ECB} = \widehat{ACB} = 60^\circ$ nên $\widehat{EBC} = 30^\circ$, do đó
$$\text{sđ}\,\overset{\frown}{EC} = 2\cdot\widehat{EBC} = 60^\circ.$$
Vì ba cung $BD$, $DE$, $EC$ nằm trên nửa đường tròn (cung $BC = 180^\circ$) nên
$$\text{sđ}\,\overset{\frown}{DE} = 180^\circ - 60^\circ - 60^\circ = 60^\circ.$$
Vậy $\text{sđ}\,\overset{\frown}{BD} = \text{sđ}\,\overset{\frown}{DE} = \text{sđ}\,\overset{\frown}{EC} = 60^\circ$ (ba cung nhỏ bằng nhau). (đpcm)
b) Tính diện tích hình viên phân giới hạn bởi dây $BD$ và cung nhỏ $BD$.
Cung nhỏ $BD$ có số đo $60^\circ$ nên góc ở tâm $\widehat{BOD} = 60^\circ$, với $OB = OD = R = \sqrt{3}$ cm.
Diện tích hình quạt tròn $OBD$ (ứng với cung $60^\circ$):
$$S_{\text{quạt}} = \frac{60}{360}\,\pi R^2 = \frac{1}{6}\,\pi\cdot(\sqrt{3})^2 = \frac{1}{6}\cdot 3\pi = \frac{\pi}{2}\ (\text{cm}^2).$$
Tam giác $OBD$ có $OB = OD = \sqrt{3}$ và $\widehat{BOD} = 60^\circ$ nên là tam giác đều cạnh $\sqrt{3}$, diện tích:
$$S_{OBD} = \frac{\sqrt{3}}{4}\,(\sqrt{3})^2 = \frac{\sqrt{3}}{4}\cdot 3 = \frac{3\sqrt{3}}{4}\ (\text{cm}^2).$$
Diện tích hình viên phân bằng diện tích hình quạt trừ diện tích tam giác:
$$S_{\text{viên phân}} = S_{\text{quạt}} - S_{OBD} = \frac{\pi}{2} - \frac{3\sqrt{3}}{4} \approx 1,57 - 1,30 = 0,27\ (\text{cm}^2).$$
Vậy diện tích hình viên phân là $\dfrac{\pi}{2} - \dfrac{3\sqrt{3}}{4} \approx 0,27$ cm².
Đáp số
Lời giải do Thư viện nhà trường biên soạn, giải và kiểm chéo độc lập theo SGK 2026-2027.