Giải Bài 5.17 trang 99 SGK Toán 9

Lời giải

a) Cách vẽ dây $AB$

- Trên một bán kính, lấy điểm $H$ sao cho $OH = 2{,}5$ cm (tức là $OH$ bằng khoảng cách cần có).
- Qua $H$, vẽ đường thẳng vuông góc với $OH$; đường thẳng này cắt đường tròn $(O)$ tại hai điểm $A$ và $B$.

Khi đó $AB$ là dây cần vẽ. Vì $OH \perp AB$ nên khoảng cách từ $O$ đến dây $AB$ chính là $OH = 2{,}5$ cm.

b) Độ dài dây $AB$

Vì $OH \perp AB$ nên $H$ là trung điểm của $AB$, do đó $AB = 2HA$.

Tam giác $OHA$ vuông tại $H$, theo định lí Pythagore:
$$HA = \sqrt{OA^2 - OH^2} = \sqrt{5^2 - 2{,}5^2} = \sqrt{25 - 6{,}25} = \sqrt{18{,}75} \approx 4{,}33 \text{ (cm)}.$$

Vậy $AB = 2HA = 2\sqrt{18{,}75} \approx 8{,}66$ cm.

c) Số đo và độ dài cung nhỏ $AB$

Xét tam giác vuông $OHA$ có:
$$\cos\widehat{AOH} = \dfrac{OH}{OA} = \dfrac{2{,}5}{5} = \dfrac{1}{2} \Rightarrow \widehat{AOH} = 60^\circ.$$

Vì $OH$ là tia phân giác của góc ở tâm $\widehat{AOB}$ nên:
$$\widehat{AOB} = 2\widehat{AOH} = 2 \cdot 60^\circ = 120^\circ.$$

Suy ra số đo cung nhỏ $AB$ là $120^\circ$.

Độ dài cung nhỏ $AB$:
$$l = \dfrac{\pi R n}{180} = \dfrac{\pi \cdot 5 \cdot 120}{180} = \dfrac{10\pi}{3} \approx 10{,}47 \text{ (cm)}.$$

d) Diện tích hình quạt tròn ứng với cung nhỏ $AB$

$$S = \dfrac{\pi R^2 n}{360} = \dfrac{\pi \cdot 5^2 \cdot 120}{360} = \dfrac{25\pi}{3} \approx 26{,}18 \text{ (cm}^2\text{)}.$$

Đáp số