Giải Bài 5.15 trang 98 SGK Toán 9

Lời giải

a) Đường tròn đường kính $BC$ đi qua $H$ và $K$.

Gọi $O$ là trung điểm của $BC$, khi đó đường tròn đường kính $BC$ là đường tròn $(O)$ bán kính $OB = OC = \dfrac{BC}{2}$.

$H$ là chân đường vuông góc hạ từ $B$ xuống $AC$ nên $BH \perp AC$, do đó tam giác $BHC$ vuông tại $H$. Trong tam giác vuông $BHC$, trung tuyến $HO$ ứng với cạnh huyền $BC$ bằng nửa cạnh huyền:
$$HO = \frac{BC}{2} = OB = OC.$$
Vậy $H$ nằm trên đường tròn đường kính $BC$.

Tương tự, $K$ là chân đường vuông góc hạ từ $C$ xuống $AB$ nên $CK \perp AB$, do đó tam giác $BKC$ vuông tại $K$. Trung tuyến $KO$ ứng với cạnh huyền $BC$ cho:
$$KO = \frac{BC}{2} = OB = OC,$$
nên $K$ cũng nằm trên đường tròn đường kính $BC$.

Vậy đường tròn đường kính $BC$ đi qua cả hai điểm $H$ và $K$ (đpcm).

b) Chứng minh $KH < BC$.

Theo câu a), bốn điểm $B,\, C,\, H,\, K$ cùng nằm trên đường tròn đường kính $BC$. Khi đó $KH$ là một dây của đường tròn này, còn $BC$ là đường kính.

Vì tam giác $ABC$ không là tam giác vuông nên $H \ne K$ (hai điểm $H,K$ không trùng với $B,C$), và dây $KH$ không đi qua tâm $O$, tức $KH$ không phải là đường kính.

Trong một đường tròn, đường kính là dây lớn nhất; mọi dây không đi qua tâm đều nhỏ hơn đường kính. Do đó:
$$KH < BC \quad (\text{đpcm}).$$

Đáp số