Giải Bài 5.7 trang 91 SGK Toán 9

Lời giải

Phân tích. Gọi $H$ là chân đường vuông góc hạ từ tâm $O$ xuống dây $AB$, khi đó $OH = 3$ cm.

Vì cung nhỏ $AB$ có số đo $100^\circ$ nên góc ở tâm chắn cung đó là $\widehat{AOB} = 100^\circ$.

Bước 1. Trong đường tròn, đường kính (hay bán kính) đi qua tâm và vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm của dây và là tia phân giác của góc ở tâm chắn dây ấy. Do $OH \perp AB$ nên $OH$ là tia phân giác của $\widehat{AOB}$:
$$\widehat{AOH} = \dfrac{\widehat{AOB}}{2} = \dfrac{100^\circ}{2} = 50^\circ.$$

Bước 2. Xét tam giác $OAH$ vuông tại $H$ (vì $OH \perp AB$), có:
$$\cos\widehat{AOH} = \dfrac{OH}{OA} = \dfrac{OH}{R}.$$

Bước 3. Suy ra bán kính:
$$R = \dfrac{OH}{\cos\widehat{AOH}} = \dfrac{3}{\cos 50^\circ} \approx \dfrac{3}{0{,}6428} \approx 4{,}7 \text{ (cm)}.$$

Kiểm tra lại. Với $R \approx 4{,}7$ cm thì $OH = R\cos 50^\circ \approx 4{,}7 \cdot 0{,}6428 \approx 3{,}02 \approx 3$ cm, đúng với khoảng cách đã cho.

Vậy bán kính của đường tròn $(O)$ là $R \approx 4{,}7$ cm.

Đáp số