Giải Bài 5.6 trang 91 SGK Toán 9

Lời giải

a) Tính khoảng cách từ $O$ đến đường thẳng $AB$.

Kẻ $OH \perp AB$ tại $H$. Theo quan hệ giữa đường kính và dây, $OH$ đi qua trung điểm của dây $AB$, nên $H$ là trung điểm của $AB$. Do đó:

$$AH = HB = \dfrac{AB}{2} = \dfrac{6}{2} = 3 \text{ (cm)}.$$

Tam giác $OHA$ vuông tại $H$, có $OA = 5$ cm (bán kính) và $AH = 3$ cm. Áp dụng định lí Pythagore:

$$OH = \sqrt{OA^2 - AH^2} = \sqrt{5^2 - 3^2} = \sqrt{25 - 9} = \sqrt{16} = 4 \text{ (cm)}.$$

Vậy khoảng cách từ $O$ đến đường thẳng $AB$ là $OH = 4$ cm.

b) Tính $\tan\alpha$ nếu góc ở tâm chắn cung $AB$ bằng $2\alpha$.

Góc ở tâm chắn cung $AB$ là $\widehat{AOB} = 2\alpha$.

Tam giác $OAB$ cân tại $O$ (vì $OA = OB = 5$ cm) có $OH$ là đường cao nên $OH$ cũng là đường phân giác của góc $\widehat{AOB}$. Do đó:

$$\widehat{AOH} = \dfrac{\widehat{AOB}}{2} = \dfrac{2\alpha}{2} = \alpha.$$

Xét tam giác $OHA$ vuông tại $H$, ta có:

$$\tan\alpha = \tan\widehat{AOH} = \dfrac{AH}{OH} = \dfrac{3}{4} = 0{,}75.$$

Vậy $\tan\alpha = \dfrac{3}{4} = 0{,}75$.

Đáp số