Giải Bài 5.5 trang 91 SGK Toán 9

Lời giải

Gợi ý – phân tích: $M$ thuộc nửa đường tròn đường kính $AB$ nên $M$ nằm trên đường tròn tâm $O$ (với $O$ là trung điểm của $AB$) bán kính $R=\dfrac{AB}{2}$. Ta so sánh khoảng cách từ $M$ đến $AB$ với bán kính này.

Chứng minh:

Gọi $O$ là trung điểm của $AB$, tức là tâm của nửa đường tròn. Khi đó
$$OM = R = \dfrac{AB}{2}.$$

Kẻ $MH \perp AB$ tại $H$ ($H$ thuộc đường thẳng $AB$). Khi đó độ dài đoạn $MH$ chính là khoảng cách từ $M$ đến $AB$.

- Trường hợp $H \equiv O$: khi đó $MH = MO = \dfrac{AB}{2}$.

- Trường hợp $H$ khác $O$: tam giác $MHO$ vuông tại $H$, nên $MH$ là một cạnh góc vuông, còn $MO$ là cạnh huyền. Trong tam giác vuông, cạnh góc vuông luôn nhỏ hơn cạnh huyền, do đó
$$MH < MO = \dfrac{AB}{2}.$$

Trong mọi trường hợp ta đều có
$$MH \le MO = \dfrac{AB}{2}.$$

Vậy khoảng cách từ $M$ đến $AB$ không lớn hơn $\dfrac{AB}{2}$ (đpcm).

Dấu bằng xảy ra khi $H \equiv O$, tức là khi $M$ là điểm chính giữa của nửa đường tròn (điểm cao nhất, nằm trên đường trung trực của $AB$).

Đáp số