Giải Bài 9.31 trang 92 SGK Toán 9

Lời giải

Nhận xét chung: Trong SGK, ta có kết quả: *nếu một điểm nhìn đoạn thẳng $PQ$ dưới một góc vuông thì điểm đó nằm trên đường tròn đường kính $PQ$.* Vì $AD$, $BE$, $CF$ là các đường cao nên:

$$AD \perp BC,\quad BE \perp AC,\quad CF \perp AB.$$

a) Tứ giác $BCEF$ nội tiếp

Vì $BE$ là đường cao nên $BE \perp AC$ tại $E$, suy ra $\widehat{BEC} = 90^\circ$.

Vì $CF$ là đường cao nên $CF \perp AB$ tại $F$, suy ra $\widehat{BFC} = 90^\circ$.

Như vậy hai điểm $E$ và $F$ cùng nhìn đoạn $BC$ dưới một góc vuông, nên $E$ và $F$ cùng nằm trên đường tròn đường kính $BC$. Đường tròn này cũng đi qua $B$ và $C$.

Do đó bốn điểm $B$, $C$, $E$, $F$ cùng nằm trên một đường tròn (đường kính $BC$), tức là tứ giác $BCEF$ nội tiếp (đpcm).

b) Tứ giác $CAFD$ nội tiếp

Vì $CF \perp AB$ tại $F$ nên $\widehat{AFC} = 90^\circ$.

Vì $AD \perp BC$ tại $D$ nên $\widehat{ADC} = 90^\circ$.

Như vậy hai điểm $F$ và $D$ cùng nhìn đoạn $CA$ dưới một góc vuông, nên $F$ và $D$ cùng nằm trên đường tròn đường kính $CA$. Đường tròn này cũng đi qua $C$ và $A$.

Do đó bốn điểm $C$, $A$, $F$, $D$ cùng nằm trên một đường tròn (đường kính $CA$), tức là tứ giác $CAFD$ nội tiếp (đpcm).

c) Tứ giác $ABDE$ nội tiếp

Vì $AD \perp BC$ tại $D$ nên $\widehat{ADB} = 90^\circ$.

Vì $BE \perp AC$ tại $E$ nên $\widehat{AEB} = 90^\circ$.

Như vậy hai điểm $D$ và $E$ cùng nhìn đoạn $AB$ dưới một góc vuông, nên $D$ và $E$ cùng nằm trên đường tròn đường kính $AB$. Đường tròn này cũng đi qua $A$ và $B$.

Do đó bốn điểm $A$, $B$, $D$, $E$ cùng nằm trên một đường tròn (đường kính $AB$), tức là tứ giác $ABDE$ nội tiếp (đpcm).

Kiểm tra lại: Mỗi tứ giác đều có hai đỉnh kề nhau nhìn cạnh nối hai đỉnh còn lại dưới góc $90^\circ$ nên nội tiếp đường tròn có cạnh ấy làm đường kính — kết luận nhất quán cho cả ba trường hợp.

Đáp số