Giải Bài 9.32 trang 92 SGK Toán 9

Lời giải

Phân tích. Tứ giác $ABCD$ nội tiếp đường tròn $(O)$ nên tổng hai góc đối bằng $180^\circ$:
$$\widehat{A}+\widehat{C}=180^\circ,\qquad \widehat{B}+\widehat{D}=180^\circ. \quad (*)$$
Ta lần lượt xét hai tam giác tạo bởi các giao điểm $E$ và $F$.

a) Xét tam giác $EBC$ (đỉnh $E$).

Vì $E$ là giao điểm của $AB$ và $CD$ nên $B$ nằm giữa $E,A$ và $C$ nằm giữa $E,D$. Do đó:
$$\widehat{EBC}=180^\circ-\widehat{ABC},\qquad \widehat{ECB}=180^\circ-\widehat{BCD}.$$
Tổng ba góc trong tam giác $EBC$:
$$\widehat{BEC}+\widehat{EBC}+\widehat{ECB}=180^\circ$$
$$40^\circ+(180^\circ-\widehat{ABC})+(180^\circ-\widehat{BCD})=180^\circ$$
$$\Rightarrow\ \widehat{ABC}+\widehat{BCD}=220^\circ. \quad (1)$$

b) Xét tam giác $FCD$ (đỉnh $F$).

Vì $F$ là giao điểm của $AD$ và $BC$ nên $C$ nằm giữa $B,F$ và $D$ nằm giữa $A,F$. Do đó:
$$\widehat{FCD}=180^\circ-\widehat{BCD},\qquad \widehat{FDC}=180^\circ-\widehat{ADC}.$$
Tổng ba góc trong tam giác $FCD$:
$$\widehat{DFC}+\widehat{FCD}+\widehat{FDC}=180^\circ$$
$$20^\circ+(180^\circ-\widehat{BCD})+(180^\circ-\widehat{ADC})=180^\circ$$
$$\Rightarrow\ \widehat{BCD}+\widehat{ADC}=200^\circ. \quad (2)$$

c) Giải hệ để tìm các góc.

Đặt $\widehat{B}=\widehat{ABC}$, $\widehat{C}=\widehat{BCD}$, $\widehat{D}=\widehat{ADC}$. Từ $(1)$, $(2)$ và từ $(*)$ (góc $B$ và $D$ đối nhau: $\widehat{B}+\widehat{D}=180^\circ$) ta có:
$$\begin{cases}\widehat{B}+\widehat{C}=220^\circ\\ \widehat{C}+\widehat{D}=200^\circ\\ \widehat{B}+\widehat{D}=180^\circ\end{cases}$$
Cộng ba phương trình: $2(\widehat{B}+\widehat{C}+\widehat{D})=600^\circ\Rightarrow \widehat{B}+\widehat{C}+\widehat{D}=300^\circ.$

Suy ra:
$$\widehat{D}=300^\circ-220^\circ=80^\circ,\quad \widehat{B}=300^\circ-200^\circ=100^\circ,\quad \widehat{C}=300^\circ-180^\circ=120^\circ.$$
Và từ $(*)$: $\widehat{A}=180^\circ-\widehat{C}=180^\circ-120^\circ=60^\circ.$

Kết luận: $\widehat{A}=60^\circ,\ \widehat{B}=100^\circ,\ \widehat{C}=120^\circ,\ \widehat{D}=80^\circ.$

Kiểm tra. $\widehat{A}+\widehat{C}=60^\circ+120^\circ=180^\circ$ và $\widehat{B}+\widehat{D}=100^\circ+80^\circ=180^\circ$ (đúng tính chất tứ giác nội tiếp); $\widehat{B}+\widehat{C}=220^\circ$, $\widehat{C}+\widehat{D}=200^\circ$ (khớp $(1),(2)$). Vậy kết quả thỏa mãn.

Đáp số