Giải Bài 9.28 trang 90 SGK Toán 9

Lời giải

Bước 1. Sáu điểm $A,D,B,E,C,F$ cùng nằm trên $(O)$.

Phép quay tâm $O$ giữ nguyên khoảng cách từ mỗi điểm đến tâm $O$. Do $A,B,C\in(O)$ nên:
$$OD=OA=R,\quad OE=OB=R,\quad OF=OC=R.$$
Vậy $D,E,F$ cũng thuộc đường tròn $(O)$, tức sáu điểm $A,D,B,E,C,F$ đều nằm trên $(O)$.

Bước 2. Các cung do tam giác đều và phép quay tạo ra.

Vì tam giác $ABC$ đều nội tiếp $(O)$ nên ba điểm $A,B,C$ chia đường tròn thành ba cung bằng nhau:
$$\text{cung } AB=\text{cung } BC=\text{cung } CA=120^\circ.$$
Phép quay ngược chiều $60^\circ$ tâm $O$ biến $A\to D$, $B\to E$, $C\to F$, nên cung (đo ngược chiều kim đồng hồ) nối mỗi điểm với ảnh của nó bằng đúng góc quay:
$$\text{cung } AD=\text{cung } BE=\text{cung } CF=60^\circ.$$

Bước 3. Sáu điểm chia $(O)$ thành sáu cung bằng nhau.

Đi theo chiều ngược kim đồng hồ bắt đầu từ $A$, ta gặp lần lượt $A,D,B,E,C,F$. Tính số đo từng cung nhỏ liên tiếp:
- $\text{cung } AD=60^\circ$;
- $\text{cung } DB=\text{cung } AB-\text{cung } AD=120^\circ-60^\circ=60^\circ$;
- $\text{cung } BE=60^\circ$;
- $\text{cung } EC=\text{cung } BC-\text{cung } BE=120^\circ-60^\circ=60^\circ$;
- $\text{cung } CF=60^\circ$;
- $\text{cung } FA=\text{cung } CA-\text{cung } CF=120^\circ-60^\circ=60^\circ$.

Vậy sáu điểm $A,D,B,E,C,F$ chia đường tròn $(O)$ thành sáu cung bằng nhau, mỗi cung $60^\circ$ (tổng $6\times60^\circ=360^\circ$, đúng).

Bước 4. Kết luận.

- Các cạnh $AD,DB,BE,EC,CF,FA$ căng các cung bằng nhau ($60^\circ$) nên chúng bằng nhau: lục giác có sáu cạnh bằng nhau.
- Mỗi góc của lục giác là góc nội tiếp chắn cung gồm bốn cung nhỏ liên tiếp (số đo $4\times60^\circ=240^\circ$), nên mỗi góc bằng $\dfrac{240^\circ}{2}=120^\circ$: sáu góc bằng nhau.

Một đa giác nội tiếp đường tròn có các cạnh bằng nhau và các góc bằng nhau là đa giác đều. Do đó $ADBECF$ là một lục giác đều. $\blacksquare$

Đáp số