Giải Bài 9.27 trang 90 SGK Toán 9

Lời giải

Cho: Hình thoi $ABCD$ có $\widehat{A} = 60°$, cạnh $a$. $M$, $N$, $P$, $Q$ lần lượt là trung điểm của $AB$, $BC$, $CD$, $DA$.

Cần chứng minh: $MBNPDQ$ là lục giác đều.

Nhận xét về hình thoi:

Vì $ABCD$ là hình thoi nên $AB = BC = CD = DA = a$.

Vì $\widehat{A} = 60°$ nên:

$$\widehat{C} = \widehat{A} = 60° \quad (\text{hai góc đối của hình thoi bằng nhau})$$

$$\widehat{B} = \widehat{D} = 180° - 60° = 120° \quad (\text{hai góc kề một cạnh của hình thoi bù nhau})$$

Bước 1: Chứng minh sáu cạnh của lục giác $MBNPDQ$ bằng nhau.

Vì $M$, $N$, $P$, $Q$ là trung điểm của $AB$, $BC$, $CD$, $DA$ nên:

$$MB = \frac{AB}{2} = \frac{a}{2}, \quad BN = \frac{BC}{2} = \frac{a}{2}, \quad PD = \frac{CD}{2} = \frac{a}{2}, \quad DQ = \frac{DA}{2} = \frac{a}{2}$$

Xét $\triangle NCP$ có:

$$CN = \frac{BC}{2} = \frac{a}{2}, \quad CP = \frac{CD}{2} = \frac{a}{2}, \quad \widehat{NCP} = \widehat{BCD} = 60°$$

Tam giác $NCP$ cân tại $C$ (vì $CN = CP$) có $\widehat{NCP} = 60°$ nên $\triangle NCP$ là tam giác đều, suy ra:

$$NP = CN = CP = \frac{a}{2}$$

Xét $\triangle QAM$ có:

$$AQ = \frac{DA}{2} = \frac{a}{2}, \quad AM = \frac{AB}{2} = \frac{a}{2}, \quad \widehat{QAM} = \widehat{DAB} = 60°$$

Tam giác $QAM$ cân tại $A$ (vì $AQ = AM$) có $\widehat{QAM} = 60°$ nên $\triangle QAM$ là tam giác đều, suy ra:

$$QM = AQ = AM = \frac{a}{2}$$

Vậy $MB = BN = NP = PD = DQ = QM = \dfrac{a}{2}$, tức là sáu cạnh của lục giác $MBNPDQ$ bằng nhau.

Bước 2: Chứng minh sáu góc của lục giác $MBNPDQ$ bằng nhau.

Tại đỉnh $B$: vì $M \in AB$, $N \in BC$ nên $\widehat{MBN} = \widehat{ABC} = 120°$.

Tại đỉnh $D$: vì $P \in CD$, $Q \in DA$ nên $\widehat{PDQ} = \widehat{CDA} = 120°$.

Tại đỉnh $N$: vì $N$ nằm giữa $B$ và $C$ nên $\widehat{BNP} + \widehat{CNP} = 180°$. Mà $\triangle NCP$ đều nên $\widehat{CNP} = 60°$, suy ra:

$$\widehat{BNP} = 180° - 60° = 120°$$

Tại đỉnh $P$: vì $P$ nằm giữa $C$ và $D$ nên $\widehat{NPD} + \widehat{NPC} = 180°$. Mà $\triangle NCP$ đều nên $\widehat{NPC} = 60°$, suy ra:

$$\widehat{NPD} = 180° - 60° = 120°$$

Tại đỉnh $Q$: vì $Q$ nằm giữa $D$ và $A$ nên $\widehat{DQM} + \widehat{AQM} = 180°$. Mà $\triangle QAM$ đều nên $\widehat{AQM} = 60°$, suy ra:

$$\widehat{DQM} = 180° - 60° = 120°$$

Tại đỉnh $M$: vì $M$ nằm giữa $A$ và $B$ nên $\widehat{QMB} + \widehat{QMA} = 180°$. Mà $\triangle QAM$ đều nên $\widehat{QMA} = 60°$, suy ra:

$$\widehat{QMB} = 180° - 60° = 120°$$

Vậy sáu góc của lục giác $MBNPDQ$ đều bằng $120°$.

Kết luận: Lục giác $MBNPDQ$ có sáu cạnh bằng nhau $\left(\text{cùng bằng } \dfrac{a}{2}\right)$ và sáu góc bằng nhau $\left(\text{cùng bằng } 120°\right)$ nên $MBNPDQ$ là lục giác đều (đpcm).

Đáp số