Giải Bài 9.26 trang 90 SGK Toán 9

Lời giải

Lời giải.

Vì tam giác $ABC$ đều nội tiếp đường tròn $(O)$ nên $O$ là tâm của tam giác đều, và ba cạnh $AB,\ BC,\ CA$ là ba dây bằng nhau chắn ba cung bằng nhau. Do đó ba góc ở tâm bằng nhau:
$$\widehat{AOB}=\widehat{BOC}=\widehat{COA}=\frac{360^\circ}{3}=120^\circ.$$

Xét tam giác cân $OBC$ có $OB=OC=R=2$ cm và $\widehat{BOC}=120^\circ$. Kẻ $OH\perp BC$ tại $H$ thì $H$ là trung điểm của $BC$, đồng thời $OH$ là phân giác của góc $\widehat{BOC}$, nên:
$$\widehat{BOH}=\frac{120^\circ}{2}=60^\circ.$$

Trong tam giác vuông $OHB$ (vuông tại $H$):
$$BH=OB\cdot\sin\widehat{BOH}=2\cdot\sin 60^\circ=2\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}\ (\text{cm}).$$

Vì $H$ là trung điểm của $BC$ nên:
$$BC=2\cdot BH=2\sqrt{3}\ (\text{cm}).$$

Tam giác $ABC$ đều nên cả ba cạnh bằng nhau:
$$AB=BC=CA=2\sqrt{3}\approx 3{,}46\ (\text{cm}).$$

Kiểm tra lại: Với tam giác đều cạnh $a$, bán kính đường tròn ngoại tiếp $R=\dfrac{a}{\sqrt{3}}$. Thay $a=2\sqrt{3}$ ta được $R=\dfrac{2\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=2$ cm, đúng với giả thiết. Vậy đáp số hợp lí.

Đáp số