Giải Luyện tập 1 trang 87 SGK Toán 9

Lời giải

Nhận xét về các cạnh của $MNPQK$

Xét tam giác $ABC$ có $M$ là trung điểm cạnh $AB$ và $N$ là trung điểm cạnh $BC$. Do đó $MN$ là đường trung bình của tam giác $ABC$, suy ra:
$$MN = \dfrac{1}{2}AC.$$

Lập luận tương tự với các tam giác $BCD$, $CDE$, $DEA$, $EAB$, ta được:
$$NP = \dfrac{1}{2}BD,\quad PQ = \dfrac{1}{2}CE,\quad QK = \dfrac{1}{2}DA,\quad KM = \dfrac{1}{2}EB.$$

Vì $ABCDE$ là ngũ giác đều nên tất cả các đường chéo của nó bằng nhau:
$$AC = BD = CE = DA = EB.$$

Suy ra năm cạnh của $MNPQK$ bằng nhau:
$$MN = NP = PQ = QK = KM. \quad (1)$$

Nhận xét về các góc của $MNPQK$

Ngũ giác đều $ABCDE$ có mỗi góc bằng $108^\circ$, và các cạnh bằng nhau nên mỗi trung điểm chia đôi cạnh thành hai đoạn bằng nhau.

Xét tam giác $BMN$: có $BM = BN$ (đều bằng nửa cạnh ngũ giác) nên tam giác $BMN$ cân tại $B$, với $\widehat{MBN} = 108^\circ$. Do đó hai góc ở đáy bằng nhau:
$$\widehat{BMN} = \widehat{BNM} = \dfrac{180^\circ - 108^\circ}{2} = 36^\circ.$$

Tương tự, xét tam giác $CNP$ cân tại $C$ với $\widehat{NCP} = 108^\circ$, ta có:
$$\widehat{CNP} = 36^\circ.$$

Vì $B$, $N$, $C$ thẳng hàng (cùng nằm trên cạnh $BC$) nên góc trong của $MNPQK$ tại $N$ là:
$$\widehat{MNP} = 180^\circ - \widehat{BNM} - \widehat{CNP} = 180^\circ - 36^\circ - 36^\circ = 108^\circ.$$

Làm hoàn toàn tương tự tại các đỉnh $M$, $P$, $Q$, $K$, ta được mọi góc của $MNPQK$ đều bằng $108^\circ$:
$$\widehat{M} = \widehat{N} = \widehat{P} = \widehat{Q} = \widehat{K} = 108^\circ. \quad (2)$$

Kết luận

Từ $(1)$ và $(2)$: $MNPQK$ có năm cạnh bằng nhau và năm góc bằng nhau nên $MNPQK$ là một ngũ giác đều.

Đáp số