Giải Bài 9.23 trang 84 SGK Toán 9

Lời giải

Phân tích hình vẽ. Gọi nửa đường tròn tâm $O$, bán kính $R$, đặt trên đường kính nằm ngang. Hình chữ nhật $ABCD$ có cạnh đáy $AB$ nằm trên đường kính, cạnh đáy dài $4$ m, cạnh bên cao $3$ m; hai đỉnh trên $D$ và $C$ nằm trên nửa đường tròn.

Do nửa đường tròn đối xứng qua đường thẳng đứng đi qua $O$, hình chữ nhật cũng nhận trục này làm trục đối xứng, nên $O$ là trung điểm của cạnh đáy $AB$.

Chọn hệ trục toạ độ gốc $O$, trục hoành theo đường kính, trục tung thẳng đứng. Khi đó:

- Hai đỉnh dưới: $A\left(-2;\,0\right)$, $B\left(2;\,0\right)$ (vì $AB = 4$ nên mỗi nửa bằng $2$).
- Hai đỉnh trên: $D\left(-2;\,3\right)$, $C\left(2;\,3\right)$ (vì chiều cao bằng $3$).

Tính bán kính $R$. Đỉnh $C\left(2;\,3\right)$ nằm trên nửa đường tròn tâm $O$ bán kính $R$, nên khoảng cách $OC = R$. Áp dụng định lí Pythagore cho tam giác vuông có hai cạnh góc vuông là $2$ và $3$:
$$R^2 = OC^2 = 2^2 + 3^2 = 4 + 9 = 13 \Rightarrow R = \sqrt{13}\ (\text{m}).$$

Tính chiều dài khung thép. Khung thép là nửa đường tròn nên có độ dài bằng nửa chu vi đường tròn bán kính $R$:
$$\ell = \frac{1}{2}\cdot 2\pi R = \pi R = \pi\sqrt{13}\ (\text{m}).$$

Kiểm tra lại đáp số. $\sqrt{13}\approx 3{,}606$, do đó $\ell \approx 3{,}1416 \cdot 3{,}606 \approx 11{,}33$ m. Giá trị này hợp lí: bề rộng cổng là $4$ m nên đường kính vòm phải lớn hơn $4$ m, tức $2R = 2\sqrt{13}\approx 7{,}21$ m, và nửa cung dài hơn đường kính — phù hợp.

Kết luận. Chiều dài đoạn thép làm khung nửa đường tròn là $\pi\sqrt{13}\approx 11{,}33$ m.

Đáp số