Giải Bài 9.22 trang 84 SGK Toán 9

Lời giải

Phân tích. Hình chữ nhật luôn nội tiếp được trong một đường tròn, tâm là giao điểm hai đường chéo. Khi đó đường chéo của hình chữ nhật chính là đường kính của đường tròn ngoại tiếp.

Bước 1. Tính đường chéo (đường kính).

Bán kính $R = 2{,}5$ cm nên đường chéo $d = 2R = 2 \cdot 2{,}5 = 5$ (cm).

Bước 2. Gọi ẩn cho các cạnh.

Gọi chiều rộng là $x$ (cm, $x>0$). Vì chiều dài gấp hai lần chiều rộng nên chiều dài là $2x$ (cm).

Bước 3. Dùng định lí Pythagore cho tam giác vuông tạo bởi hai cạnh và đường chéo.

$$x^2 + (2x)^2 = d^2$$
$$x^2 + 4x^2 = 5^2$$
$$5x^2 = 25$$
$$x^2 = 5 \Rightarrow x = \sqrt{5}\ (\text{cm}).$$

Vậy chiều rộng $x = \sqrt{5}$ cm, chiều dài $2x = 2\sqrt{5}$ cm.

Bước 4. Tính diện tích hình chữ nhật.

$$S = x \cdot 2x = 2x^2 = 2 \cdot 5 = 10\ (\text{cm}^2).$$

Kiểm tra lại. Với $x=\sqrt5$: đường chéo $=\sqrt{(\sqrt5)^2+(2\sqrt5)^2}=\sqrt{5+20}=\sqrt{25}=5$ cm $=2R$ (đúng). Diện tích $S=\sqrt5\cdot2\sqrt5=2\cdot5=10$ cm$^2$.

Kết luận. Diện tích của hình chữ nhật là $10$ cm$^2$.

Đáp số