Giải Bài 9.19 trang 84 SGK Toán 9

Lời giải

Phân tích. Vì $A$ nằm giữa $B$ và $I$ nên trên cát tuyến thứ nhất, các điểm theo thứ tự $I,\,A,\,B$; vì $C$ nằm giữa $D$ và $I$ nên trên cát tuyến thứ hai, các điểm theo thứ tự $I,\,C,\,D$. Bốn điểm $A,\,B,\,D,\,C$ cùng thuộc đường tròn $(O)$ nên tứ giác $ABDC$ nội tiếp đường tròn $(O)$ (hai cặp đỉnh đối là $A$ và $D$, $B$ và $C$).

Vì tứ giác nội tiếp có tổng số đo hai góc đối bằng $180^\circ$ nên:

$$\widehat{ABD}+\widehat{ACD}=180^\circ \quad (1) \qquad \text{và} \qquad \widehat{BAC}+\widehat{BDC}=180^\circ. \quad (2)$$

Chứng minh $\widehat{IBD}=\widehat{ICA}$.

Vì $A$ nằm giữa $I$ và $B$ nên tia $BI$ trùng với tia $BA$, do đó $\widehat{IBD}=\widehat{ABD}$.

Vì $C$ nằm giữa $I$ và $D$ nên tia $CI$ là tia đối của tia $CD$, suy ra $\widehat{ICA}$ và $\widehat{ACD}$ là hai góc kề bù:

$$\widehat{ICA}=180^\circ-\widehat{ACD}.$$

Kết hợp với $(1)$ ta có $\widehat{ICA}=180^\circ-\widehat{ACD}=\widehat{ABD}$.

Vậy $\widehat{IBD}=\widehat{ICA}$ (góc ngoài tại đỉnh $C$ của tứ giác nội tiếp $ABDC$ bằng góc trong tại đỉnh đối diện $B$).

Chứng minh $\widehat{IAC}=\widehat{IDB}$.

Vì $A$ nằm giữa $I$ và $B$ nên tia $AI$ là tia đối của tia $AB$, do đó $\widehat{IAC}$ và $\widehat{BAC}$ là hai góc kề bù:

$$\widehat{IAC}=180^\circ-\widehat{BAC}.$$

Vì $C$ nằm giữa $I$ và $D$ nên tia $DI$ trùng với tia $DC$, do đó $\widehat{IDB}=\widehat{BDC}$.

Kết hợp với $(2)$ ta có $\widehat{IAC}=180^\circ-\widehat{BAC}=\widehat{BDC}=\widehat{IDB}$.

Vậy $\widehat{IAC}=\widehat{IDB}$.

Chứng minh $IA\cdot IB=IC\cdot ID$.

Xét $\triangle IAC$ và $\triangle IDB$ có:

$\widehat{AIC}=\widehat{DIB}$ (góc chung);

$\widehat{IAC}=\widehat{IDB}$ (chứng minh trên).

Do đó $\triangle IAC \backsim \triangle IDB$ (g.g), suy ra

$$\dfrac{IA}{ID}=\dfrac{IC}{IB}.$$

Vậy $IA\cdot IB=IC\cdot ID$ (điều phải chứng minh).

Đáp số