Giải Thử thách nhỏ 2 trang 84 SGK Toán 9

Lời giải

Có. Tất cả các đỉnh của hai hình chữ nhật đều nằm trên cùng một đường tròn — đó là đường tròn đường kính $AC$ (tâm là trung điểm $O$ của $AC$).

Lập luận:

Gọi $O$ là trung điểm của đường chéo chung $AC$.

a) Xét hình chữ nhật $ABCD$:
- Vì $\widehat{ABC} = 90^\circ$ nên tam giác $ABC$ vuông tại $B$. Trong tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền, do đó $OB = \dfrac{AC}{2}$.
- Tương tự, $\widehat{ADC} = 90^\circ$ nên tam giác $ADC$ vuông tại $D$, suy ra $OD = \dfrac{AC}{2}$.

Vậy $OA = OB = OC = OD = \dfrac{AC}{2}$, tức bốn đỉnh $A, B, C, D$ cùng nằm trên đường tròn tâm $O$, bán kính $\dfrac{AC}{2}$ (đường tròn đường kính $AC$).

b) Xét hình chữ nhật $AECF$ (cũng có đường chéo $AC$):
- Vì $\widehat{AEC} = 90^\circ$ nên tam giác $AEC$ vuông tại $E$, suy ra $OE = \dfrac{AC}{2}$.
- Vì $\widehat{AFC} = 90^\circ$ nên tam giác $AFC$ vuông tại $F$, suy ra $OF = \dfrac{AC}{2}$.

Vậy $OA = OE = OC = OF = \dfrac{AC}{2}$, tức bốn đỉnh $A, E, C, F$ cũng nằm trên chính đường tròn đường kính $AC$ ở trên.

Kết luận: Hai hình chữ nhật có chung đường chéo $AC$ nên cả $6$ đỉnh $A, B, C, D, E, F$ đều cách trung điểm $O$ của $AC$ một khoảng bằng $\dfrac{AC}{2}$. Do đó các đỉnh của chúng cùng nằm trên một đường tròn (đường tròn đường kính $AC$, tâm $O$).

Đáp số