Giải Luyện tập 2 trang 84 SGK Toán 9

Lời giải

a) Chứng minh tứ giác $MNPQ$ là hình chữ nhật

Vì $M$, $N$ lần lượt là trung điểm của $AB$, $BC$ nên $MN$ là đường trung bình của tam giác $ABC$, suy ra:
$$MN \parallel AC \quad \text{và} \quad MN = \dfrac{1}{2}AC.$$

Vì $Q$, $P$ lần lượt là trung điểm của $DA$, $DC$ nên $QP$ là đường trung bình của tam giác $DAC$, suy ra:
$$QP \parallel AC \quad \text{và} \quad QP = \dfrac{1}{2}AC.$$

Từ đó $MN \parallel QP$ và $MN = QP$, nên tứ giác $MNPQ$ là hình bình hành.

Tương tự, $NP$ là đường trung bình của tam giác $BCD$ nên $NP \parallel BD$.

Mà $ABCD$ là hình thoi nên hai đường chéo vuông góc: $AC \perp BD$.

Ta có $MN \parallel AC$ và $NP \parallel BD$, mà $AC \perp BD$ nên $MN \perp NP$, tức $\widehat{MNP} = 90^\circ$.

Hình bình hành $MNPQ$ có một góc vuông nên $MNPQ$ là hình chữ nhật (đpcm).

b) Tìm bán kính đường tròn ngoại tiếp tứ giác $MNPQ$

Hình chữ nhật $MNPQ$ nội tiếp đường tròn có đường kính là đường chéo của nó. Ta tính đường chéo $MP$.

Xét tam giác vuông $MNP$ vuông tại $N$, theo định lí Pythagore:
$$MP^2 = MN^2 + NP^2 = \left(\dfrac{AC}{2}\right)^2 + \left(\dfrac{BD}{2}\right)^2 = \dfrac{AC^2 + BD^2}{4}.$$

Gọi $O$ là giao điểm hai đường chéo của hình thoi. Vì $AC \perp BD$ tại $O$ và $O$ là trung điểm mỗi đường chéo, xét tam giác vuông $AOB$ vuông tại $O$:
$$OA^2 + OB^2 = AB^2 \;\Rightarrow\; \left(\dfrac{AC}{2}\right)^2 + \left(\dfrac{BD}{2}\right)^2 = AB^2 = 3^2 = 9.$$

Do đó $AC^2 + BD^2 = 4 \cdot 9 = 36$, suy ra:
$$MP^2 = \dfrac{36}{4} = 9 \;\Rightarrow\; MP = 3 \text{ (cm)}.$$

Bán kính đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật $MNPQ$ là:
$$R = \dfrac{MP}{2} = \dfrac{3}{2} = 1,5 \text{ (cm)}.$$

Đáp số